Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

HOfi мааштаб врашения равен х = amlvjY2,. Отношение временных масштабов характеризует относительную роль механизмов переноса и вращения. Имеем

Tlx = С V% (5.65)

и при с порядка единицы отношение характерных времен указывает на значимость механизма врашения.

Рассматривая корреляции вектора вихря с другими элементами фильтрационного поля, можно показать, что все одноточечные моменты равны нулю, что, конечно, не исключает того, что разно-точечные моменты отличны от нуля.

Перейдем к анализу плоского поля. Положив в (5.59) флуктуацию Уз = О, получим

дк Р

Q, =2 = 0, 2з = 2=». (5.66)

Отсюда следует

KQ (г)> = 2t-" а

дху дх,

<2» (0) > = 2l-JvliaK (5.67)

Анализ формулы (5j67) показывает, что для любой точки иа плоскости х,Х2 существует полоса шириной aY2, ориентированная вдоль первой оси, т. е. параллельно скорости среднего течения, внутри которой вихри положительно коррелируют с вихрем в этой точке, которую мы считаем расположенной на средней линии полосы. Вне полосы вихри с центральным вихрем коррелируют отрицательно. Ддя корреляции вихря и проницаемости имеем

<2*> = 2*оУоСа-л:е-""", (5.68)

т. е. вихрь не коррелирует с проницаемостью в точках, лежащих на прямой, параллельной среднему течению. Корреляции с проницаемостью в точках, лежащих по разные стороны от этой прямой, имеют разные знаки.

Важная характеристика вихревого течения - циркуляция скорости по некоторому замкнутому контуру С в ориентированным

элементш da

ГЫс. (5.69)

Согласно теореме Стокса имеем

Г = I (Qn) ds, (5.70)

где Е - произвольная поверхность, натянутая на коитур С; ds-

элемент этой поверхности; п - единичный вектор нормали к поверхности.

Рассмотрим плоское течение, а в качестве контура С выберем прямоугольник со сторонами 2/ и 26, ориентированными вдоль первой и второй осей соответственно. Из (5.62), (5.69) и (5.70) следует

J ft(а:,, (>)d.c, -

(5.71)

г/а

Рнс. 19, Зависимость безразмерной ЦНИ получим инриуляинн скорости фнльтраиин т от пэрамегра 1/и для цаз.чииных е-=иь

Отсюда для дисперсии циркуля-

<Г=>

j J /((X, х, b, b)x -1 -/

X dtdx- I I K(x. x. b, ~h)dxdx . (5.72)

Пусть К = Oexp (-r/a). Тогда, вычислив интегралы в (5.72), найдем

<Г> = Da2/{l -е

film.

(5.73)

где функция f определена формулой (2.16). График функции 7 = = <Г2/аС£) прн различных Л приведен на рис. 19. Очевидно, мелко- и крупномасштабные флуктуации проницаемости слабо влияют на циркуляцию. Наибольший вклад определяется иеоднородностями, размер которых близок к масштабу контура, по которому вычисляется циркуляция.

Завершая краткий анализ вихря скорости фильтраиии в неоднородных средах, отметим некоторые его особенности.

Очевидно, в стохастически однородных средах средняя завихренность равна нулю, такие поля в среднем потенциальны. Изучение лишь Средних полей в этом случае приводит к потере важных качественных особенностей потока, связанных с вихревым характером флуктуации поля скорости, проявляющимся в механизме переноса жидкости и всякого рола примесей.

В отличие от гидродинамики жидкой среды, фильтрационный поток не является носителем вихревого поля. Око жестко связано с пористой средой (ее структурой) и при стационарной фильтрации не зависит от времени. Вращение жидкой «частицы» определяется точкой пространства, в которой эта частица находится в данный момент времени.

г л Д в А 6

ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОЙ ПРОВОДИМОСТИ

Для многих физических процессов в неоднородных средах (теплопроводность, электропроводность, фильтрация жидкостей и газов и т. д.) характерна математически эквивалентная задача определения макроскопической или, как часто говорят, эффективной проводимости системы иа основании информации о структуре поля локальной проводимости. Наиболее интересен и практически важен стохастический вариант этой задачи, т. е. тот случай, когда локальное поле проводимости может трактоваться как случайное.

Истолкование проблемы неоднородности с вероятностной точки зрения определяет пути нахождения эффективной проводимости. В самом деле, решая соответствующую задачу в среде со случайными неоднородностями и определяя математическое ожидание решения или некоторых его функционалов, мы тем самым автоматически находим эффективные характеристики. Следует иметь в виду, что эффективные характеристики системы, найденные при решении одной задачи, могут оказаться непригодными для другой задачи, решаемой для той же системы. Дело в том, что если масштаб неоднородности сравним с размерами системы, эффективная проводимость зависит не только от свойств среды, но и от размеров области и типа условий на ее границе. Иными словами, эффективные характеристики зависят от условий задачи в целом и, следовательно, должны определяться в каждом отдельном случае.

Иначе обстоит дело в том случае, когда размеры области велики по сравнению с масштабом неоднородности. Рассматривая неограниченную среду, мы исключаем влияние типа краевых условий на эффективные характеристики. Однако и в этом случае эффективная проводимость должна так или иначе зависеть от всех параметров, определяющих случайное поле локальной проводимости, например, от всех моментов случайного поля. Поэтому формулы для эффективной проводимости, если они достаточно универсальны, должны иметь очень сложную структуру. Отсюда следует, что реалистическую постановку проблемы определения эффективной проводимости можно связать с поиском достаточно простых приближенных зависимостей для широких классов полей и, как исключение, точных формул для сред относительно простой структуры.

Перейдем к формулировке задачи об отыскании эффективной проводимости неоднородной среды. Пусть локальные поток v и поле Л связаны системой соотношений

у = аЛ, div v = 0. го1Л =0. (6,1)