Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Раоомотрим теперь случай, когда корреляционный тензор В" можно Представить в виде

В" (t - /1) = В"(0) ехр 1- ((- l,)/ti\,

в" = 0 при 1Ф1, (10.51)

где, как подчеркивалось, 62 = 63= ei. Заметим, что неравенство масштабов С порождает определенные трудности при локализации и в конечном счете повышает порядок локализованного уравнения. Как и ранее продифференцируем уравнение (10.46) по времени/ и учтем завнвимовть (10.51). Тогда можно записать

+ ДззМ;.)

где дифференциальная форма Liiu), имеет вид

(«) = S " <о) -- ""

Исходное уравнение (10.46) запишем в форме ( t

(10.52) (10,53)

<Й1 = L, (и).

(10.54)

Равенства (10,52) и (10.54) рассмотрим как уравнения относительно интегралов, стоящих в левой части. Решив эту систему, (1айдем интеграл

(eai.2-/.,)-

г 1

(10.56)

Нетрудно убедиться, что соотношение (10,56) отличается от нелокального уравнения одномерного течения (10.16) лишь порядком дифференциальной формы, стоящей в правой части. Попутно отметим, что уравнение (10,16) следует из (10.56) в предельном случае ег < < si. <g; /. Если Принять е, = = е, то из (10.56) вытекает локализованное уравнение второго порядка

-/-1=0. (10.57)

Для локализации (10.56) в общем случае, как и для одномерного течения, следует уравнение (10.56) продифференцировать по его же продифференцировать по л:,, и из полученных двух равенств исключить интеграл. В итоге получим

+ 5"(0)(6?-si)g=0. (10.58)

m дх, д>

и (и) = (И) -е2г(")-

Как легко видеть, это уравнение третьего порядка и по времени и по пространственной переменной л:,. Значительные трудности при постановке и решении задач для подобных уравнений требуют определенной осторожности при окончательной формулировке проблемы. Нам кажется, что различие в параметрах е;, по крайней мере для изотропных сред, не настолько велико, чтобы оправдать существенное усложнение уравнения для средней концентрации. Не следует забывать, что и нелокализоваииое уравне1Ие (10.46), следствием которого является уравиеиие (10.58), также приближенное, поскольку получено методом возмущений. Поэтому далее при рассмотрении многомерной дисперсии мы будем использовать локализованное уравнение второго порядка (10.57). Как легко убедиться, это уравнение гиперболического типа, от уравнения для одномерного течения (10.28) оно отличается лишь членом S Д" (0)d2(j/dx, и выводы относительно решения (10.28)

практически полностью переносятся и на уравнение (10.57). Как и в случае одномерного течения, возмущение распространяется с конечной скоростью. Действительно, введем новые независимые пространственные переменные

та = (Xi - Wit/m)(B/B")>\ (10.59)

где В - некоторая норма тензора В, например Д = S Д" (0).

Тогда уравнение (10.57) примет вид

т ди , I и „о nr. СП

?3? + ? = V«. (10.60,

Здесь

= Bs/m, с2 = В/т.

Очевидно, в системе координат т), начало которой «сплывет» со скоростью W вдоль оси Xl, а масштабы по осям деформированы в соответствии с (10.59), возмущение распространяется со скоростью с = У~В1т. В плывущей, но недеформироваиной системе скорость распространения возмушений вдоль осей различна, фронтовая поверхность-вытянутый вдоль первой оси эллипсоид вращения. Можно показать, что внутри эллипсоида вдали от его границы решение уравнения (10.60) стремится к решению параболического уравнения, которое получится из (10.60), если отбросить

Вторую производную по времени. Как н в случае одномерного течения, решение на фронте - скачок экспоненциально убывает со временем. Таким образом, ситуация качественно подобна рассмотренному ранее одномерному случаю и, следовательно, при не слишком разнящихся 8,<С/ приведенный анализ обосновывает допустимость параболического приближения, т. е. уравнения (10.49).

Если масштабы неоднородности макроаннзотропной среды существенно различаются, временные масштабы е/ также будут Сушественно разными. Можно, однако, высказать правдоподобную гипотезу, что при 8(<С/ и в этом случае параболическое уравнение (10.49) остается достаточно хорошим приближением. Пусть, например, 8i3>e2 = e3, т. е. по существу рассматривается одномерное распространение примеси. Легко видеть, что в случае, если ei<t, из (10.49) следует одномерное параболическое уравнение (10.18), обоснование которого дано ранее. Таким образом, н в этом предельном случае крайне различающихся временных масштабов е параболическое приближение вполне допустимо.

Приведенный анализ возможностей локализации касался случая, когда поле скоростей не имело источников и было однородно. Рассмотрим теперь обшее уравнение переноса (10.43). Если, как

и раньше, считать, что вектор скорости W направлен вдоль оси

л:,, а оси х для любого х - главные оси тензора В Цх, х) и,

кроме того, времена корреляции е,=ег {х)<1, из (10.43) получим уравнение

•t+r hul (10.61)

Нетрудно видеть, что при ti{x) = const и fi" (х, х) = const уравнение (10.61) переходит в уравнение (10.49), полученное ранее для однородного поля скоростей без источников. В общем же случае, продифференцировав дважды fi"«] в (10.61) с учетом того, что

дв" (г. X) дВх.)

получим

+ lS.fi«g. (10.62)

Таким образом, в локализованном варианте уравнения переноса помимо обычных диффузионных членов получены конвективные и истокообразные члены, т. е. имеют место эффекты, аналогичные явлению направленного переноса при неоднородной турбулентности [21].