Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [ 76 ] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

может оказаться недостаточно точным. Для примера можно указать случай, когда поле концентрации порождено источником, интенсивность которого переменна, или когда рассматривается задача Коши с достаточно нерегулярным начальным распределением.

УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ПЕРЕНОСА

Рассмотри. перенос прнмеси потоком в пространстве произвольного числа измерений. Будем считать поток квазиодномерным, полагая Среднюю скорость зависящей от одной координаты, а флуктуации зависящими от всех координат. Будем также считать движение жидкости установившимся. Это обстоятельство, отсутствующее, например, в процессе турбулентной диффузии, придает неодномерной фильтрационной дисперсии специфические черты и требует специального анализа.

Пусть для примеси справедливо локальное уравнение сохранения

m -Н div (ус) -0. аО.ЗЬ)

Булем считать пористость т постоянной и усредним уравнение (10.35) / к

т-Ь IVu- -div<yc>. (10.36)

Вычитая из (10.35) уравнение (10.36) и сохраняя главные члены, получим Уравнение для с(х, г)

m irvc = -div(yu). (10.37)

Дополнительные детерминированные условия, наложенные иа с, отнесем кии тогда соответствующие условия для с будут однородными. Если, например, задано условие с(х, 0) =f(x), то лля с* имеем с(х, 0) = 0. При этом условии решение (10.37) имеет вид

с(х, f) = ~m-4 diWiivuyiti, z = x- Wm- (t-/). (10.38)

Здесь символ divj указывает на то, что дифференцирование проводится по г. При этом вследствие (10.38) можно записать

d/dzi = д/дх{ = - mWTd/dt. (10.39)

Подставив (10.38) в (10.37), получим уравнение для средней

концентрации и(х, I)

ii+rv«--I div,A?rf/, (10.40)

at "о

N = < ydiv(e«) >.

т

Рассмотрим компоненту вектора N

Здесь Bi(x, 2) - корреляционный тензор поля скоростей в среде со случайными неоднородностямн

Подставив (10.41) в (10.40) с учетом (10.39), получим

(10.42)

1 + I? V « = i j I]-3/B«)d (10,43)

о i. t

Уравнение (10.43) можно переписать в виде

о 1.1

(10.44)

дх, dXj dXj дХ; dxjdxj Если поле скоростей несжимаемой жидкости не содержит источ-

ников

divy = Yl/Xj = О,

то усреднив последнее равенство, легко убедиться, что и флуктуации скорости удовлетворяют уравнению

div w = S dvi/dxj = О,

умножив которое на vi(Z) и усреднив результат, получим

Совершенно аналогично имеем

И, следовательно, уравнение (10,44) упрощается

-5 + V« = i\l]B. )4dt,. (10.45)

Если учесть, что для однородных полей корреляционный тензор - - (р

В" зависит от х - 2 = -(/ -то нетрудно заметить, что уравнение (10.44) для средней концентрации примеси, переносимой и диспергируемой установившимся потоком в многомерной неоднородной среде, имеет тот же вид, что уравнение (10.16) для одномерного течения, скорость которого является случайной функцией времени.

Не ограничивая общности, проведем дополнительные упрощения

уравнения (10.45). Пусть ось параллельна вектору В?, тогда при любой Ориентировке осей х и х- тензор B приведен к главным осям, и можно (10.45) переписать в виде

а. + ас = 1г J1" (-) dh (10.46)

о

Введем в рассмотрение /, - пространственные масштабы корреляции компонент скорости для точек х \i г, лежащих иа прямых, параллельных вектору W

U = -Bii]B<{i,)dy. (10.47) о

Как показывает анализ, приведенный в главе 5, эти масштабы различны, причем

Длн примера, рассмотренного в главе 5 можно считать, что /г = /j = у у 3, Очевидно, поскольку В" в рассматриваемом случае зависит от (/-Г,), можно ввести и временные масштабы

bimlilW. (10.48)

Эти масштабы имеют такой смысл; точка, плывущая со средней скоростью W 1т, га время Е( покрывает расстояние, для которого разноточечная корреляция компоненты vi несущественна.

Рассмотрим некоторые случаи, когда уравнение (10.46) можно локализовать непосредственно. Пусть е/ < < Л Тогда, как н в случае одномерного течения, из (10.46) следует

-F"+ll:T-Se,-5(0). (10.49,

Случай е Г также локализуется подобно одномерному и приводит к уравнению, обобщающему соотношение (10-22)

dfi dxidt га дх\ г" Т дх\ *