Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Подставив (4.87) в (4.83), получим уравиеиие лля среднего поля L*<p>-i-f = 0, (4.88)

= < > 4- < LL- > < >-. (4.89)

Таким образом, среднее поле удовлетворяет уравнению, оператор которого, иногда его называют эффективным оператором, можно выразить через исходный оператор L. В принципе вычисление L* можно реализовать при помощи разложения операторов в ряды, суммирования и усреднения. Например, представив оператор L в виде

>[/+</.>- Ll можно формально представить

= i -< >- г < I >-

Не обсуждая вопросы сходимости таких рядов запишем первое нетривиальное приближение L*, содержащее первые два члена операторного ряда

L*= <L>~<U <L >-Ч >. (4.90)

Именно в этом приближении и рассматривались фактически задачи, приведенные в первом-третьем разделах данной главы, показавщие, что в отличие от оператора <.L>, который в изучаемых случаях был дифференциальным оператором с постоянными коэффициентами, L* таковым не является.

ГЛАВА S

корреляционный н спектральный анализ

элементов фильтрационного поля

в средах со случайными неоднородностями

Известно, что гидродинамическое поле фильтрации определяется Проницаемостью, пористостью, вязкостью жидкости, гидродинамическим давлением и его градиентом, скоростью фильтрации и т. д., образующими, в свою очередь, скалярные или векторные поля. Поскольку предполагается статистическая структура поля проницаемости, остальные поля-элементы, связанные с проницаемостью и между собой зависимостями - законами фильтрации, будут также определяться статистическими закономерностями. Корреляционный анализ элементов поля помимо выяснения внутренней структуры фильтрационного процесса дает возможность решения задач фильтрации в средах со случайными неоднородностями. Так, в частности, изучаемые ниже корреляции необходимы для вычисления эффективной проницаемости изотропной и анизотропной сред, при исследовании дисперсии примеси в фильтрационном потоке, для вычисления коэффициента охвата при движении неньютоновской жидкости.

При статистическом анализе элементов поля будем придерживаться следующей схемы: элементы изучаются поочередно, причем рассматривая какой-либо элемент, будем тут же изучать его корреляции со всеми элементами, рассмотренными ранее (см. [36]. Конечным результатом такого изучения будет ковариационная матрица всей совокупности элементов поля.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТОВ ТРЕХМЕРНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ПОЛЕП В ИЗОТРОПНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Поле гидродинамического давления

Исследование поля давления в среде со случайными неоднородностямн естественно связано с решением соответствующей задачи о движении жидкости в этой среде.

Рассмотрим движение однородной жидкости постоянной вязкости I* в неоднородной среде, проницаемость которой будем считать случайной функцией координат х, у, г. Полагая, что выполняется закон Дарси, жидкость несжимаема, в области фильтрации нет источников и стоков, запишем систему уравнений для давления р и скорости фильтрации о

- »

у= - ~Vp, divi = 0, (5.1)

или, исключив о, уравнение для р

д I др\ д I да\ & ! Sp \ -Щ- + "йГ й) + I* й) =0. (5.2)

где Х = X], У = Х2, 2 = Хэ.

Будем считать, что на границе области фильтрации Г задано неслучайное давление pr=p,{x:i, Лг, дз)соп51. Кроме того, положим, что случайная функция k(r) образует однородное случайное поле, пространственный масштаб которого значительно меньше характерных размеров области фильтрации. В этом случае естественно ожидать, что всюду, за исключением области, примыкающей непосредственно к границе течения, гидродинамические элемеить] или их флуктуации образуют статистически однородные случайные поля и, следовательно, их средние значения не зависят от координат. Например, можно полагать, что почти всюду в области фильтрации постоянен градиент среднего давления или средняя скорость фильтрации. Если к тому же считать, что среднее значение элемента задано, то задача определения флуктуации элемента значительно упрощается, тем более, что в случае малости масштаба неоднородности допустимо считать область фильтрации неограниченной.

Итак, будем искать решение уравнения (5.2) п неограниченной

области О < г < со, предполагая, что искомая функция представлена в виде

Р h = ро {г) + р (О. Р 10= <Р (П > (5.3)

и выполняются условия

Vpo = const, р(0,- =0- (5-4)

Для упрощения дальнейших вычислений будем полагать, что заданный вектор Vpo и ось ЛГ] параллельны. Тогда <др/дх, > = = дро/дх\ = а = const, dpo/dxq = дро/дх = 0. Заметим, что знак дрв/дх, может быть любым, так как мы не связываем направления Vpo и оси д:.

Для отыскания р и его статистических характеристик иеполь-зуется метод возмущений. Представив случайное поле k(r) в виде

k(r) = ko (r) + k(r), kolr) = < A(r) > = const, (5.5)

будем искать p (г) в виде суммы

р ir) = ро ir) + р, (г) -I- р2 (7) + ..(5.6)

где функция poir) определена своими частными производными и, очевидно, удовлетворяет «невозму щей ному» уравнению AoVVo = 0. а иа функции pi при / = 1, 2,... наложено условие < pt > =0.

Уравнения для р„ легко получить, подставив в (5,2) выражения (5.5) и (5,6) и приравняв нулю члены одинакового порядка относительно флуктуации АС"). При этом следует считать, что pi имеет по k порядок i. После преобразований получим уравнение

VV(0 = *o [AVV-+ VkVp-i] = -~fnir), (5.7) решение которого вследствие (5.4) должно удовлетворять условию

рп ir) = О при г со.

Как известно, решение (5,4) при этом условии можно записать следующим образом;

pnir)=iGii. ?)=p,(7)dr (5.8)

где функция Грина G имеет вид

G(r, ?) = -i-

\r~r\

а интегрирование в (5.8) проводится по объему всего трехмерного пространства. Символом dr обозначен элемент объема dxldxdxa.