Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

лишь для малых времен. В [21] анализируются также многочисленные попытки определения лагранжевых корреляций при помощи различных эмпирических и полуэмпирических гипотез. Анализ приводит авторов к выводу об отсутствии конструктивной и надежной теории.

Учитывая сказанное, попытаемся оценить порядок лагранжевого Временного масштаба, исходя из соображений теории размерности. При веденный в главе 5 анализ поля скорости показал, что масштаб корреляции эйлеровой скорости по порядку совпадает с а - мас-щтабом корреляции проницаемости. Поскольку поле эйлеровых скоростей мы условились считать установившимся, эйлерово время корреляции естественно считать неограниченным, так как все жидкие частицы, проходящие в разное время данную точку пространства, имеют одну и ту же скорость. С другой стороны, T = am/uo - единственный параметр задачи, имеющий размерность времени, естественно считать лагранжееым масштабом дисперсии примеси на макроскопических неоднородиостях. Аналогично, параметр микроструктуры Tt = т У kolUu с этой же точки зрения естественно считать лагранжевым масштабом дисперсии примеси иа микронеоднородно-стях масштаба пор.

Таким образом, принятие гипотезы о порядке величины лагранжевого Временного масштаба полностью замыкает корреляционное описание поля вектора смешений и позволяет перейти к построению

уравнений для плотности вероятностей f(X, t, х, fo). При этом, очевидно, ве обойтись без принятия дополнительных предположений о структуре векторного поля смещений, поскольку первых двух моментов, относительно которых мы имеем определенную информацию, достаточно для исчерпывающего описания только некоторых специальных полей, например гауссовых.

МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ФИЛЬТРАЦИОННОГО ПЕРЕНОСА ЧАСТИЦ

Далее мы будем предполагать, что процесс перемещений или, как часто говорят, блужданий жидкой частицы, является марковским случайным процессом. Теория марковских процессов - один из наиболее изученных разделов теории вероятностей, обстоятельное ее изложение можно найти, например, в работе [71. Тем не менее мы приведем здесь некоторую информацию об этих процессах, достаточную для первоначального знакомства с предметом и понимания «происхождения» основных уравнений, получаемых далее при изучении дисперсии примеси.

Итак, пусть X (f)-случайный векторный процесс, компоненты которого Х[(/), (/), Xri(0 являются случайными функциями времени. Рассмотрим момент времени U<t и введем условную плотность вероятности того, что процесс, имевший в момент времени

(о значение х (to), примет в момент / значение х((). Обозначим эту плотность символом

ПХ, t; X, to), (9.31)

в котором состояние процесса х, реализованное в настоящий момент

0, отделено от состояния X, вероятность осуществления которого в будущий момент времени i требуется оценить при помощи плотности /.

По определению процесс X (/) является марковским, если плотность (9.31) не зависит от того, какие значения процесс принимал в моменты Времени, предшествующие моменту 1о. Иными словами, вероятность состояния в будущем (i > (о) не зависит от прошлого, а целиком определяется тем, что в настоящий момент процесс

имеет значение х (to). Очевидно, плотность (9.31) исчерпывающим образом характеризует процесс. Ниже приведены ее некоторые свойства.

1. Неотрицательность

/ (X, t; X, to). (9.32)

2. При t >to вероятность того, что процесс примет какое-либо значение равна единице

UfX.t; X, ic)dX = i. ,9.33)

3. При t = to и X ф х очевидно, что / (Х, to; х, to) = О, так как процесс может принимать в данный момент одно значение. Но так как выполняется и условие (9.33), то

/ (X, t- х", to)\,, - S (Л - X). (9.34)

4. Пусть to, S и t - моменты времени такие, что /о < s <а

X {t). г (s) и x{tf,) -значения марковского процесса в эти моменты времени. Плотность вероятности процесса удовлетворяет функциональному уравнению - обобщенному уравнению Маркова

f{X, t; X, to) = i/(2. 5; X, to)nX, t; z, s)dz. (9,35)

Вывод (9.35) состоит в оценке вероятности перехода процесса

из состояния X (to) в область X (t) + dx двояким путем: непосредственно

f(X, t; X, to)dx (9.36)

и минуя промежуточное произвольное состояние.

Так как процесс марковский, вероятность двойного шага равна произведению вероятностей шагов

dxSf(z. s; X, to)fiX, t. z, s)dz. (9.37)

Приравнивая (9.36) и (9.37), получим (9.35). Это уравнение иногда называют формулой Смолуховского, Чепмена пли Колмогорова.

УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИОННОЯ ДИСПЕРСИИ

Для непрерывных марковских процессов из функционального уравнения Маркова можно получить два дифференциальных уравнения для плотности /, названные первым и вторым уравнениями Колмогорова. В первом уравнении независимыми переменными являются /о и X, т. е. параметры, характеризующие начальное состояние, во втором уравнении независимыми - параметры финального состояния X at.

Опуская вывод уравнений, имеющийся, например, в [7], приведем сами уравнения.

Первое уравнение Колмогорова

Плотность вероятности f(X, f, х, to), рассматриваемая как функция

характеристик начального состояния to и х, удовлетворяет уравнению

I+1 <".I,+4g, =°-

Коэффициенты уравнения (9.38), т. е. вектор а и тензор Ьц, определяются равенствами

а(х, to) = lim <ЦЦп£>, (9.39,

(-.1, -о

Ь., (Я ПШ <[И-.-«,№.)-М> .

-(. ~ о

Уравнение (9.38) иногда называют обратным уравнением Колмогорова.

Второе уравнение Колмогорова

Плотность вероятности f{X, t; х, to) как функция характеристик финального состояния X » t удовлетворяет уравнению

ж + S 1 О Л - 4 S [Ьи (X, t) л 0. (9.41.

В этом уравнении коэффициенты а и 6, как и в случае первого уравнения Колмогорова, определяются равеиства.ми (9.39) и (9-40) с той только разницей, что в последнем случае они зависят от I.