Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Задача (10.89)-(10.91) решается методом ных г, t решение н.меет вил

/ (лг -у,Г)ехр ( -

Риыаиа и

(10.91) в перемен-

и {X,

"0

•Vtix~v2t) ехр (--) +

.-0,1

MC)dc).

(10.92)

Т = К - (л: - vi/)! (С - (Jt - ОгО)- (10-93)

Рассматривая предельный случай / < е и ограниченные начальные распределения

f {X), из (10.92) получим

И(ЛГ.

2е (I - ф)

/(Л -UiO-b

2е(1 + ф)

f{X~V3t)

(10-94)

т. е. произвольное начальное распределение / (дг) распадается на две подобных ему волны, движущиеся со скоростями v, и vi. При этом более быстрая волна имеет меньшую высоту. Уместно отметить, что 8 аналогичной задаче прн постоянной пористости и случайной скорости высоты волн были одинаковыми, а их средняя скорость равнялась невозмущенной скорости. В только что рассмотренном случае средняя скорость волн больше невозмущенной.

Вернемся к общему случаю произвольного / {х) и рассмотрим начальное распределение / (д:) = (л). Легко видеть, что при любом f на фронтах возмущенной зоны vzt < х <, v,t сосредоточено конечное количество вещества прнмеси. На переднем фронте

gi = I ехр

соответственно на заднем фронте

fl2 = I ехр

2 (I - )

(10.95)

(10.96)

2е (I + ф)

Фронтовые порции быстро (экспоненциально) убывают со временем, но скорости убывания несколько различаются. На переднем фронте скорость убывания выше и, следовательно, сама порция меньше. Между фронтами концентрация распределена в соответствии с равенством

I -ii

(10.97)

(10.93) 245

Очевидно, параметр р - половина расстояния между фронтами, а Д - отклонение точки х от середины возмущенной зоны, положительное для точек X, лежащих справа от середины и отрицательное, для находящихся еле ва.

Для точек X значительно удаленных от фронтов, Ар, Д<1 н потому для времени, значительно большего времени корреляции е допустимо использовать асимптотические представления бесселевых функций мнимого аргумента. После упрощений получим в окрестности точки Д = ф

.-о 2 +

и (X, О =

"о 1 - 4-

n-f)-l. 00.99)

Т. е. в окрестности точки, движущейся со скоростью +i(()X

X (1 - ф)" распределение концентрации близко к нормальному с коэффициентом дисперсии *? {\-Y) + отличие от нор-

мального, оно обладает некоторой асимметрией - правая ветвь убывает несколько медленней левой, что можно объяснить видом зависимости характеристических скоростей t) и от и ее следствием - более быстрым переходом вещества прнмеси с переднего фронта в возмущенную зону.

При изучении дисперсии примеси в поле случайной скорости фильтрации было показано, что вдали от фронтов решение локализованного гиперболического уравнения переноса близко к решению параболического уравнения (10.18), полученного при помощи грубой локализации при малых временах корреляции е. Рассмотрим возможность грубой локализации уравнения переноса примеси в среде со случайной пористостью. Вернувшись к нелокальному уравнению (10.72) н проведя рассуждения, вполне аналогичные изложенным в первом разделе данной главы, получим уравнение

шо- =--5 (10.100)

" д дх dt

и будем искать его решение при условиях (10.81)

и (X, 0) =f(x), ди (X. 0)fdt = - у/пГ (1 - f) ~ 7 (х)

Легко убедиться, что уравнение (10.100) параболическое, его характеристики - прямые, параллельные оси х, на которой определены начальные условия, следовательно задача поставлена некорректно. Рассмотрим иной вариант задания дополнительных условий. Пусть изучается смешанная задача для уравнения (10.100) в области х>0, t>0 и в качестве дополнительных условий зафиксируем и(х, 0) и «(О, /). Такая задача имеет единственное и устойчивое решение, но и она поставлена некорректно. Причина этого заключена в том, что область зависимости значений и(Х, t), заданных на оси /, т. е. при х=0 - весь квадрант (л:>0, />0)

и, следовательно, на решение и(х, I) оказывает влияние ы(0, т) при т>/, т. е. «будущее» влияет на «прошлое», что конечно неприемлемо. Таким образом, задание в определенной степени естественных дополнительных условий для уравнения (10.100) приводит к некорректным постановкам задач и, следовательно, к невозможности их решения. Отсюда следует необходимость переформулировки задачи за счет регуляризации уравнения (10.100). Вернемся вновь к уравнению (10.100) и запишем его в виде

mo3-)-i~ = 0(Me). (10.101)

С точностью до малых более высокого порядка

подставив un из (10.102) в правую часть (10.100), получим приближенное регуляризованное уравнение

ди ди tMv ди „п tr.r>\

"ei + -d-xr (10-103)

Очевидно, уравнение (10.103) параболическое, для него корректны как задача Коши, так и смешанная задача. При этом оно первого порядка по времени и в качестве начального условия достаточно задать и(х, 0). Задачи такого рода и методы их решения хорошо изучены, известно решение регул яри зова иного уравнения (10.103). Ясно, что регуляризованное уравнение описывает дисперсию с коэффициентом дисперсии, даваемым формулой (10.84). При этом утрачены эффекты распространения возмущений с конечной скоростью и регулярного сноса вещества против течения.

Заметим, что рассмотрение многомерных течений в среде со случайной пористостью и неслучайной скоростью фильтрации, если ось X совмещена с направлением скорости фильтрации, приводит к полученным одномерным уравнениям. Этот результат обусловлен тем, что пористость не входит в уравнения фильтрации, а содержится лишь в уравнении переноса примеси.

И еще одно замечание. Проследив за всеми этапами грубой локализации уравнения (10.72), в итоге которых получено уравнение (10.100), можно предполагать, что причиной возникших затруднений послужила перемена порядка дифференцирования по времени и локализации интеграла в (10.72). Вернемся вновь к уравнению (10.72) и проведем его локализацию, не меняя указанного порядка. Продифференцировав интеграл в (10.79) по параметру / и локализовав полученные интегралы, получим уравнение

S + S + S""- О0..04,

Очевидно, оно гиперболического типа, семейства его характеристик x=const, /=const. Если например, рассмотреть область л:>0, />0, то для уравнения (10.104) можно поставить начально-