Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

OJSS

Рис- 22. Зависимость коэффициента де-поляри.чации ru, вытянутого млипсои-да вращения от еоотношення осей а/оз < I

Рнс. 23. Завненмость коэффициента деполяризации «3 сплюснутого эллнрсои-да врашения от соотношения осей Я/аз > )

V = Р,о,г:И + РгзэЯа, (6.100) где И2 - среднее поле области вне включений

Определив Яа вз очевидного равенства

Н = Ру(.Н + Р2Н2 (6.101) и подставив в (6.100), найдем

V = 12 + Л (о, - ог) С1 Н. (6.102)

и, следовательно, тензор эффективной проводимости имеет вил

о* = 02+Л (о,-ог)С. (6-103)

Пусть среда и включения изотропны, включения имеют форму

сферы. Тогда п,= \/3, С = Зог (2о2-+0)-i и эффективная проводимость макроизотропиой системы

Ч (°-°г)

= 02+1

2=2+

(6.104)

Эта формула впервые была получена Максвеллом, Если включения, одинаково Ориентированные в направлении третьей оси,- бесконечные круговые цилиндры, из (6.99) следует пз = 0, п, = = т=]/2. Кроме того, Си = Сг2 = 2o2(oi + о)". Сзз = I и, следовательно, тензор эффективной проводимости макроскопической анизотропной системы имеет вид

в - 02В = 12+ Р\

, 033 = Рз+ Руа,. (6.105)

Отметим, что формула (6.103), как и ее следствия (6.104) и (6.105), применима при сильно различающихся о, и ог, но при этом должна быть достаточно малой концентрация включений Р, Линей-

ная зависимость эф<}:ективной проводимости от Р. точная асимптотически 1фи малых Р, при достаточно больших Р и а О приводит к физически неприемлемым резульгатам. Исключение - предельный случай слоистой структуры, для которой формула (6.103) является точной.

Рассмотрим подробнее случай, когда проводимость включений з, суш,ественно отличается от проводимости аз. В предельной ситуации а < имеем для пространственной и плоской изотропных структур соответственно

а = оИ1 ~2Ру). (6-106)

Естественно, что первую (1ормулу можно использовать при Р <2/3, н вторую-при Р< 1/2. Легко видеть, что в соответствии с этими формулам)г Р\ =2/3 и /*! - 1/2 являются критическими концентрациями, при которых соответствующие системы перестают быть Проводящими- Заметим, что Р = ]j2- точное значение критической концентрации для изотропных двумерных систем. Как гюказывают сопоставления формул в расчетами модельных систем 32, указанные приближения практически удовлетворительны в широком диапазоне изменения Р. Линейность обычно нарушается лишь в узкой области вблизи критической концентрации.

В случае aj > ог формулы (6.104), (6.105) соответстьенио принимают вид

о* = а,(1 -ЬЗР),

а* = 3,(1 -b2Pi). (6-107)

Легко понять, что такие приближения годятся лишь в узкой области вблизи Р = 0. поскольку не описывают бщстрого возрастания проводимости системы с ростом Р, вплоть до ее «пробоя», т. е. реализации бесконечной проводимости всей системы при отличной от единицы концентрации высокопроводящих включений.

Вывод формул (6.104) и (6-105) близок к методу Максвелла, Приведем вывод формул Максвелла и попутно отметим, что поместив в обзоре [32] формулу Максвелла, авторы приводят процедуру ее получения- Легко убедиться, что реализация их рекомендации приводит не к формуле Максвелла, э к формуле (6.105), которая, как будет видно из дальнейшего, является лишь частным случаем формулы Максвелла.

Итак, рассмотрим случай размещения в неограниченной среде проводимости 02 включений - шаров проводимости а, и радиуса а. Рассмотрим шар радиуса А > а, и пусть в нем содержится п малы.< шаров. Тогда при достаточно большом п имеем

па = ЬР,. (6-108)

Воспользуемся решением задачи о рассеянии однородного на бесконечности поля единичным шаровым включением. Как известно

[17], если центр сферической системы координат совместить с центром включения, то П - потенциал рассеянного поля вне шара

П = \И\

-а) cose

(6.109)

Пусть теперь fb- Тогда, считая вклад каждого нз малых шаров в рассеянное поле П (г) аддитивным и независимым, получим вклад включений шара радиуса Ь в виде

па ("!> - 0.) cos Ь -

с другой стороны. При оценке этого вклада будем считать, что. шар радиуса b рассеивает поле как единичный шар - «включение», проводимость которого равна о*. Тогда

(з, - а") cosB -

Приравнивая (6.П0) и (6.П1), с учетом (6.108) получим формулу Максвелла

2а, J- о, -I- 2, (а, - 3,1

Нетрудно убедиться, что при малых Р формула (6.П2) эквивалентна формуле (6.104), И хотя при выводе (6.112) также принято. Что концентрация включений мала (малы эффекты взаимовлияния включений), результаты расчетов даже при Р\=1 качественно приемлемы. Легко проверить, что в этом случае а*-+о:, чего нет при использовании формулы (6.104), Являясь приближенной, формула (6.112) в соответствии с допущением о слабом взаимодействии включений не описывает возможного эффекта запирания системы при ai = 0 и достаточно больших р,. Аналогично обстоит дело и при 0-*-оо. Формула (6.112) не описывает «пробоя» системы при Р, отличных от единицы.

Задача о сферических включениях, центры которых образуют в пространстве правильную периодическую решетку, и вычислении эффективной Проводимости такой системы подвергается изучению, начиная с работы Рэлея, в которой получены первые два члена разложения о* по степеням концентрации включений Р. Замечательно то, что первый-главный член этого разложения - совпадает с решением Максвелла (6.112). Следует отметить, что в работе 4] получены следующие два члена разложения. Там же показано, что если а<02, т. е. проводимость включений меньше проводимости среды, то точное значение эффективной проводимости периодической структуры со сферическими включениями меньше или равно первому члену формулы Рэлея или. что то же самое, решению Максвелла (6.112), которое обозначим символом а м-Если же 0>ог, то о > Оц.