Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 [ 84 ] 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

решить приближенно лишь при наличии в задаче малых параметров, например, малости времени корреляции и т. п. Естественно ожидать, что используя стохастическое уравнение с соответствующими дополнительными условиями, в принципе можно построить не только уравнение для средней концентрации, но и получить исчерпывающую характеристику концентрации - плотность распределения вероятности. Далее, следуя работе [13], мы приведем методы получения замкнутых уравнений для плотности вероятности концентрации, переносимой случайным полем скорости. Эти методы основаны на способах функционального описания случайных полей, и потому их изложение необходимо предварить рядом сведений из этой области. Более подробное описание можно найти в работах [13, 21, 28].

Подобно тому, как случайная величина С полностью описана, если задана ее характеристическая функция

х(Х) = <ехр(а;) >. (10.132)

случайная функция z{t) полностью определена, если задан ее характеристический функционал

Ф[\\= <ехр\1\{г)г{х)4\> . (10.133)

Например, характеристический функционал для гауссова процесса с нулевым средним имеет вил

Ф[Ц = ехр ( -4 JJ В (т,. Та) X ( > (г),*} (10-134)

Аналогично записывается характеристический функционал для многомерной случайной функции - поля.

Решение многих рассмотренных ранее задач так или иначе сводилось к вычислению корреляций двух функционалов F и R, определенных на случайном поле

Д = <Flz(x)\Rlz{i)]> . (10.135)

В некоторых случаях эту корреляцию можно представить в виде произведения средних функционалов. В этом случае говорят о расщеплении корреляций- Пусть функционал F [z (-с)! = z{l), т. е. А является корреляцией случайной функции в момент времени / с функционалом Rlz]. В этом случае справедлива формула

< Z (С) R [г (т) = S-;Jf £ . - ,f K„+,(t, U) X

i I)

Здесь под знаком интеграла функционал R[z] подвергнут п раз операции вариационного дифференцирования, а Кп+\ (I. li, . U) ~-кумулянты (семиинварианты) процесса

<z{f)R\z (t)> =

Здесь e tXl = In Ф tXJ, a операция вариационного дифференциро-ваиия определяется соотношением

Щ = Ига

Вг(0 11-0 J Вг . (10.138)

где Ьр-вариация функционала F (г).

Если процесс гауссов, все кумулянты, кроме второй, равны нулю, /Cj(/i, /j) = <2(/,)2(/a) > И формула (10.136) при < / имеет вид ,

< zU)RU{x)\ > = у < 2(/(2(т) > < >т. (10.139)

Формулу (10.139) называют соотношением Фурутцу - Новикова. Если процесс 2(t) гауссов и, кроме того, дельта-коррелирован, T0<2(/i)2(/a) > = В(/,)Ц/,-М и

B(n<m>.o<r<t,

Для многомерных гауссовых процессов формула Фурутцу - Новикова имеет вид

KZilr) R\zi > = У < 2f (О 2, (/) > <.->dr. (10.141)

Здесь г - вектор непрерывных аргументов; t и / - индексные аргументы; по повторяющимся индексным аргументам в правой части проводится суммирование.

Располагая способом расщепления корреляций, вернемся теперь к стохастическому уравнению переноса, начав рассмотрение с линейного одномерного случая. Итак,

(10.142)

с(х, 0) = с„(х),

где т-неслучайная и постоянная пористость; с (х, t) - случайная концентрация; о (/) -влучайная скоровть фильтрации; (х) - неслучайная функция.

Введем функцую <р(. <(с), параметричевки зависящую от ( и л;

f,.,(tf) = b[c(x, /)-с. (10.143)

Искомая плотность вероятности Р, , (с) имеет вид

Л.г (с) = <<р,..(с)> = < Ь1в(х, 1)~с\>. (10.144) Чтобы получить уравнение для Л. t(c), найдем сначала уравнение для I (с), которое обычно называется уравнением Лиувилля, а затем усредним его. Дифференцируя {10-143) по лг, запишем

c(x.f)d

b[c(x.t)~c]. (10.145)

Дифференцируя (10.143) no t, найдем

=.-1Ыах.п-с]Ц. (10.146)

Подставив в (10.146) выражение dc/dl, определенное из исходного уравнения (10.142), получим

= --%И.>ХО-* (10.147,

Сравнив (10.147) с (10.145). получим уравнение Лиувилля

т + V (() ILI = О, (10.148)

dl дх

которое, как легко убедиться, имеет тот же вид, что и исходное стохастическое уравнение. Начальное условие для уравнения Лиувилля, очевидно, запишется так

90.x (с) = Ь{со(х) - с]. (10.149)

Представив v (I) в виде v (() =vo-r v (t), vn = <y> и осреднив Уравнения (10.148) и (10.149), получим

дР (С) , дР (С)

= -~<v(t)blclx. t) -с\>,

P{c)\t=»=f\Co{X)-С]. (10.150)

Теперь остается вычислить в правой части (10.150) корреляцию флуктуации скорости vt) с функционалом d<f/dx, также зависящим через решение с(х, /) от v (t). Предполагая, что процесс v(l) является гауссовым и воспользовавшись формулой Фурут-цу - Новикова, найдем

т -gj- + Vo =

=-- У У < (О «(-)> <j. й \о (X. О -<:1> dxdx.

(10.151)

Пусть процесс v (/) я вляется дельта-коррелированным. Тогда <v(t) v{x) = (t) Ь{( ~ %), и следовательно, (10.151) переходит в уравнение

(10.152) 2S9