Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

Трактовка неоднородной среды как случайного поля приводит прн рассмотрении макроскопических объектов и фильтрационных процессов в них к математическим моделям, отличающимся от традиционных тем. что все или часть задаваемых и искомых функций (полей) являются случайными.

Рассмотрим для примера фильтрацию однородной несжимаемой жидкости в среде, проницаемость k которой является случайным полем. Будем считать, что фильтрация в области течения всюду описывается законом Дарси. Тогда для области, не содержащей источников, справедливо уравнение;

div (k\7P) = 0. (2.1)

где искомое поле давления р (г), связанное с k (г) уравнением, также является случайным. Уравнение (2.1) следует дополнить условиями на границе области течения или какими-либо другими, позволяющими из всех решений (2.1) выбрать единственное, соответствующее рассматриваемой задаче. Условия могут быть как детерминированными, так и случайными. Например, можно на границе задавать фиксированные неслучайные давления, дебиты и т. д. В этом случае флуктуации искомых величин (соответственные) иа границах должны равняться нулю.

С другой Стороны, целесообразно на границах требовать выполнения как бы «смягченных» краевых условий, например задавать в качестве дополнительного условия среднее давление на некотором контуре. При этом поле давления будет флуктуировать, даже если среда однородна. С .другой стороны, дебит, как это доказано М. Маскетом [44], флуктуировать не будет. Таким образом, задание среднего давления как контурной констаиты или задание давления, в среднем равного на контуре заданной константе, приводит к аналогичным результатам.

Учитывая это обстоятельство, в дальнейшем будем рассматривать такие задачи, в которых на границах задаются фиксированные неслучайные условия.

И все-таки уместно отметить, что смягченные дополнительные условия в определенных ситуациях необходимы. Так. например, при рассмотрении фильтрации в неограниченных средах в качестве дополнительного условия фиксируют средний градиент давления или среднюю скорость. При фильтрации в квазиизолированном элементе перетоки существуют, но они как-то ограничены. В Этом случае считаем средний переток равным нулю, а дисперсию его - ограниченной сверху.

Цель исследования-определение случайного поля р{г), поля скорости фильтрации, а также функционалов от них. например дебитов. Поскольку искомые поля - случайные, следует найти их важнейшие характеристики - моментные функции, спектральные представления, корреляции искомых и заданных полей и т. д.

Очевидно, такая задача более общая, чем соответствующая задача в детерминированной постановке. Легко видеть, что стохастическая постановка фильтрационной задачи эквивалентна постановке множества детерминированных задач, каждая из которых соответствует какому-либо из членов совокупности реализаций задаваемого случайного поля. Иными словами, при сохранении формального сходства с детерминированной задачей (вид уравнений и, возможно, дополнительных условий) стохастическая постановка связана с использованием качественно отличной информации о заданных и искомых полях.

Аналогично можно сформулировать любые задачи о фильтрационных течениях в неоднородных средах, не только гранулярных, но и трещниовато-порнстых, трактуемых как случайные поля. Для этих задач характерно сохранение традиционной структуры при качественно ином способе задания и переработки информации.

Рассмотрим вопрос о том, каким же образом можно решать задачи в стохастической постановке. Имеющийся опыт показывает, что для решения подобных задач на практике используются два подхода.

Первый из них вытекает из уже упомянутой трактовки случайного поля как совокупности реализаций, т. е. совокупности обычных детерминированных функций, для каждой из которых решается соответствующая задача, а затем находится нужная информация о всей совокупности решений. Этот подход, иногда называемый монте-карловским, в принципе применим при рассмотрении любых задач, однако чрезвычайно большой объем перерабатываемой информации предъявляет очень жесткие требования к памяти и быстродействию используемых ЭВМ. Поскольку монте-карлов-ская процедура позволяет численно рассматривать лишь частные примеры, это скорее математический эксперимент, и для получения общих выводов качественного характера необходимо провести большое количество подобных расчетов, что, конечно, накладывает дополнительные ограничения.

Второй подход относится к разновидности теории возмущений- основного аппарата современной теоретической физики [14, 22). Как известно, эта теория эффективна в том случае, если для данного исследуемого сложного объекта существует «идеальный» объект, в каком-то определенном смысле ему близкий, для которого рассматриваемая задача имеет точное решение, и используя его, можно получить приближенное решение исходной задачи. •«Идеальный» объект и соответствующая задача называются невоз-мущеииыми, а исходный объект и задача - возмущенными. Особенности исходной задачи, отличающие ее от задачи невозмущенной, называются возмущениями. Это могут быть отдельные члены в уравнениях, отклонения формы границ, на которых заданы дополнительные условия, сами дополнительные условия н т. д. Если возмущения заданы параметрически, то метод возмущений иногда называют методом малого параметра. Обычно параметризация такова, что при нулевых значениях малого параметра получается

иевозмушениая задача, а решение возмушеиноЙ задачи ищется в виде асимптотического ряда по степеням малых параметров.

Первые применения теории возмущений связаны с проблемами небесной механики. Прн изучении задачи о движении планет в солнечной системе, например Земли, в первом приближении, учитывая взаимодействие Земли и Солнца, можно пренебрегать влиянием остальных небесных тел. В такой постановке задача, называемая задачей двух тел, имеет общее точное решение (так называемые орбиты Кеплера).

Попытка учесть влияние других небесных тел, в первую очередь Луны, приводит к знаменитой задаче трех тел, а также многих тел, для которых точное решение найти не удается. При рассмотрении подобных задач Лагранж, Лаплас, Пуассон, Гаусс сформулировали основные представления теории возмущений, разработали эффективные методы расчета орбит планет. Так при изучении задачи трех тел - системы Солнце -Земля - Луна в качестве невозмущениой выбрана задача двух тел для системы Солнце - Земля. В качестве малого параметра в возмущенной задаче использовалось отнощение масс Луны и Земли. Широко известный в истории науки факт открытия «на кончике пера» планеты Нептун Дж. Адамсом и У. Леверье связан с использованием в расчетах теории возмущений.

Последующее развитие теории возмущений определялось как преодолением специфических трудностей, связанных с плохой сходимостью рядов, так и распространением ее методов иа новые области применения-это задачи статистической механики, квантовой механики, квантовой теории поля и т. д. [14, 22J.

В задачах теории фильтрации в средах со случайными ргеодно-родностями такой подход приводит к выбору невозмушенной задачи для однородной среды. Поскольку невозмушеиная задача должна иметь полное и в то же время простое решение, круг рассматриваемых задач сравнительно узок, преимущественно это квазиодномерные течения, для которых невозмущенная задача является одномерной.

Практически все последующее изложение будет представлять собой результаты применения методов возмущений лля задач фильтрации в средах со случайными неоднородностями.

ЛИНЕЙНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Рассмотрим одномерное фильтрационное течение в пласте со случайной проницаемостью при условии, что иа границах пласта - галереях - заданы неслучайные давления [36], Итак, будем искать решение уравнения

= О (2.2)

при условиях

РФ)= Pi.p(l) = Pi. (2.3)