Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [ 50 ] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Для определения эффективной проводимости используем соотношение

в.Я= <eft>, (6.220)

что после подстановки в него равенств (6.217) н (6.219) дает

% = [Ро,; + (1 - Р) 021 [Р; + (1 - Р) E]-. (6.221)

Пусть, например, включения можно смоделировать шарами и, следовательно, пц = 1/3. Если в двумерном случае включения Круговые {Пц= 1/2). Тогда из (6.221) следует формула

б = (72 +---, (6.222)

!/(=,-»2) + (1-Р),./2

совпадающая с формулами Максвелла (6,112) и (6.113) и с формулой (6.216). Как уже было отмечено, этот результат является одной из вариационных границ Хашина - Штрикмана, который, с другой стороны, можно трактовать как эффективную проводимость в сингулярном приближении при отождествлении проводимости среды сравнения Оо с проводимостью матрицы 02.

Покажем, что и в общем случае сингулярное приближение при <7с = 02 совпадает с (6.222). Для этого обратившись к формуле (6.207) и выразив тензор g через С

g = 1 л = (О. - С2)- (Е - С-), (6.223)

найдем значение тензора г = Е-ga" в подобластях - элементах неоднородности. Легко убедиться, что при а = 3 имеем г, С", а при а = 02 получим гг = Е. Подставив эти результаты в (6.207), получим соотношение (6.222).

При выводе формулы (6.221) мы полагали, что включения проводимости о, погружены в неограниченную среду проводимости ог, в которой существует некоторое эффективное поле. Если считать. Что включения проводимости ог погружены в среду проводимости О] и провести аналогичные выкладки, для эффективной проводимости можно получить формулу (6.221), в которой следует заменить ojoi и Р(1-Р), не забыв при этом преобразовать и тензор £. Можно показать, что полученная таким образом формула для эквивалентна формуле сингулярного приближения (6.207), в которой положено Ос=0. В изотропном случае такой подход даст вторую границу Хашина - Штрикмана.

Таким образом, физически достаточно наглядные предположения, лежащие в основе рассматриваемого варианта теории самосогласованного поля, приводят к тем же результатам, что и сингулярное приближение с фиксированным выбором свойств среды сравнения. Отмечаемая эквивалентность и ее следствие - связь с вариационными границами Хашина - Штрикмана, позволяет дать физическую интерпретацию этих границ и, с другой стороны, показать, что приближение эффективного поля дает границы.

Рассмотрим теперь сингулярное приближение в том случае, когда поле проводимости не содержит отдельных включений, а является непрерывным. Если такое л-мерное поле макроскопически изотропно, для определения о, имеем уравнения (6.210) и (6.208), в которых шаровой тензор g = -1/лас. Поэтому Ь = (п - 1) и уравнение (6.210) имеет вид

К + (rt-1)оо]- = < [o-!-(n-])3cl- >. (6.224)

Пусть проводимость тела сравнения зс = о*. В этом случае из

(6.224) имеем уравнение для самосогласованной эффективной проводимости

4 = < -. >. (6.225)

т I 4- (п - 1) а

Если рассматривается плоская система, л = 2 и из (6,225) следует

< > = О. (6.226)

Во втором разделе данной главы было приведено точное значение эффективной проводимости двумерной изотропной непрерывной системы, для которой плотность распределения величины х = 1пв - - < 1по > является четной функцией *. В этом случае точное значение эффективной проводимости имеет вид

о = ехр < In о >.

Покажем, что это точное решение, подставленное в уравнение (6.226) обращает его в тождество.

Используя тождественное выражение

а = ехр 4- < In о >]

и точное значение з, из (6.226) получим равенство

< > = 0. (6.227)

которое, как нетрудно видеть, является тождеством, поскольку осредияемая функция нечетна по к, а плотность распределения к - четна.

Таким образом, доказано, что точное решение уравнения (6.226) для самосогласованной эффективной проводимости является точным значением эффективной проводимости в случае, рассмотренном в [9]. Полученный результат позволяет сделать вывод, что известные в настоящее время точные решения задачи определения эффективной проводимости неоднородных сред удовлетворяют уравнениям самосогласованного поля. Перечислим их:

1. Слоистые среды. Продольные проводимости равны 01=2 = = <з>, поперечная-03 =< >-. В шестом разделе данной главы показано, что метод самосогласования дает те же результаты.

2. Плоские изотропные двухкомпонентные системы. Обе компоненты 31 и 02 занимаю! в среднем геометрически эквивалентные

подобласти, доля первой компоненты равна Р. Эффективная проводимость системы в* (Р). Если рассмотреть систему, в которой доля первой компоненты I - Р, а эффективная проводимость а (1 - Р), то справедливо уравнение

о"(Р)а(1 -Р) = 0в2.

При Р = 1/2 имеем о = Vai02. Такие же результаты получены методом самосогласования в шестом разделе данной главы.

3. Плоские непрерывные изотропные системы. Плотность распределения величины к = 1па- <1по> четная функция х. Эффективная проводимость а = ехр < 1по >. Этот результат методом самосогласования получен в настоящем разделе.

4. Плоская двухкомпонентная система с тензором эффективной проводимости Oil (Р, Я], Ог) порождает дополнительную к себе систему, в которой подобласти проводимости oj в исходной системе заменены точно такими же подобластями, проводимость которых ej/аг. Тензор эффективной проводимости дополнительной системы o,i (Р, о,, oj/oa) связан с Oj, (Р, 3], Ог) точными соотношениями

"11 в,, О2) 022 (Р, 01, б?/ог)=Ои

0У2(Р, oi, 02)oi(P, о,, of/aa) = о.

В шестом разделе данной главы указан способ доказательства того, что решения метода самосогласованного поля удовлетворяют этим точным соотношениям.

5. Во втором разделе данной главы при рассмотрении точных соотношений для анизотропных двумерных сред было получено равенство (6.77). Нетрудно показать, что в случае, когда изотропные включения с проводимостями о, и ог образуют макроскопически анизотропную среду, системы уравнений для самосогласованных компонент тензоров эффективных проводимостей исходного поля с концентрацией Р и штрихованного с концентрацией (1-Р) совместны с точным уравнением (6.77). Например, подстановка (6.77) в одно из двух уравнений для исходной среды переводит его во Второе уравнение системы для штрихованного поля и наоборот.

6. Наконец, рассматривая уравнение для самосогласованной эффективной проводимости изотропной плоскости с изотропными включениями круговой формы

So - о,

о, =0, 02 = 0, оз = ?/о. Рз = Р2=Р, Р, =1-2Р,

легко проверить, что точное решение (6.79) обращает его в тождество.

Таким образом, и в этом случае точный результат удовлетворяет уравнению для самосогласованной эффективной проводимости.