Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 [ 44 ] 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Зная инвариант /, а также ао, D/oo, из (6.152) можно найтн «i/s2- Очевидно, инвариант можно определить, замерив проводимость в двух произвольных взаимно перпендикулярных направлениях

Зависимость инварианта / от D/op и еце приведена нэ рис. 28. Нетрудно видеть, что при относительно небольших значениях D/oo инвариант слабо зависит от отношения £1/62 и, следовательно, мало пригоден для отыскания масштабов неоднородности. При больших коэффициентах вариации проводимости зависимость / от ei/E2 становится весьма ощутимой, ио уравнение / (61/62) = имеет два корня, и требуется дополнительная информация для выбора нужного.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ САМОСОГЛАСОВАННЫХ ЭФФЕКТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ

В последнее время для оценки точности приближенных решений задачи определения эффективных параметров используются численные решения задач переноса для достаточно протяженных неоднородных систем. Как показано в [32], приближенные соотношения, даваемые так называемой теорией эффективной среды, весьма удовлетворительно согласуются с результатами численных экспериментов во всей области изменения параметров, за исклн>-чением, быть может, небольшой критической области вблизи порога перколяции (протекания), т. е. той концентрации непроводящего компонента, вблизи которой происходит запирание двух-компонентной системы проводник - изолятор. В [32] на примере сеток со случайными сопротивлениями выявлены причины высокой эффективности самосогласованного решения теории эффективной среды, имеющего второй порядок точности по концентрации, в то время, как, например, метод возмущений (первое приближение) или приближения малой концентрации имеет только первый порядок точности. К этому следует добавить, чтО самосогласованные решения дают асимптотически точные результаты при больших и малых концентрациях. Указания на удовлетворительное совпадение результатов теории эффективной среды с физическим экспериментом имеются в [3, 25, 32, 42]. Далее методами теории самосогласования рассмотрены задачи определения эффективных параметров ряда систем и указана связь этих решений в двумерном случае с результатами А. М. Дыхне.

Пусть поток V и поле h связаны системой уравнений

v=ah, divy = 0, Tolh = 0. (6.153)

Локальная проводимость о является случайным тензором, зависящим от координат (х,, Xi, Хз). Введя в рассмотрение средние потоки и поля

V= <v>, Я= <ft> (6.154)

(угловые скобки символизируют усреднение по ансамблю, а в случае эргодичных полей-усреднение по объему), определим тензор эффективной проводимости о* из соотношения

V=i*H. (6.155)

Рассмотрим задачу об эффективной проводимости гетерогенной Л-компонентной композитной системы, т. е. предположим, что пространство делится на подобласти, внутри которых а=а* = = const(fe= 1,2, R). Выделим одну из подобластей ~ элемент неоднородности и рассмотрим поле внутри ее. Очевидно, это поле в основном зависит от таких факторов, как величина о в подобласти, формы ее границы, значений о для ближайших индивидуальных подобластей - элементов, лежащих в «пограничном слое», среднего поля для всей системы, принимаемого постоянным, и эффективной проводимости всей системы о*. Приближение метода самосогласования заключается в пренебрежении «пограничным слоем» и рассмотрении поля в подобласти, окруженной эффективной средой, параметры которой пока неизвестны. Для их определения используется условие равенства среднего поля в подобластях заданному среднему полю для всей системы.

Пуеть рассматриваемая подобласть - эллипсоид с полуосями й1, «2, аг, а координатные оси х\, xi, хз -главные оси тензоров о и б*. Тогда, как следует из JI7], поле внутри эллипсоида Я* постоянно и имеет вид

Я*=С*Я, rii= ~.--, CL = 0, iФm, (6.156)

где коэффициенты тц определены по формулам (6.97) и (6.98).

Усредняя Я* по всем варьируемым параметрам и приравнивая результат Н, получаем матричное уравнение для определения а*:

<С>-£ = 0. (6.157)

Здесь Е - единичный диагональный тензор.

Рассмотрим двухкомпонентную систему и пусть включения однородны и изотропны, те. <з= «г*£. Вероятность (концентрация) включений первого сорта составляет Р, второго-(I-Р).

Тогда (6.157) переходит в с»стему

(6.158)

в которой уравнения «завязаны» через параметры зависящие от б,

уравнения (6.158) можно предвтавить также в виде

бТ (I - щ) 4- б? 1б (п, - Р) 4- бP + П( - I)J - ббп, = О,

f= I. 2. 3. (6.159)

Легко проверить, что уравиеиия (6.159) обладают свойством инвариантности прн заменах <sa и Р{[ - Р). По-видимому, для тех сред, преобразование которых порождает объекты, макроскопически существенно отличающиеся от исходных, самосогласованные эффективные параметры могут оказаться неудовлетворительными.

Решение системы (6.159) для получения зависимости о* (Р) во всем диапазоне изменения Р при остальных фиксированных параметрах целесообразно осуществить следующим образом. Дифференцируя систему (6.159) по Р. получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируя которую численно при начальных словиях oi (1) = б либо о, (0) = 0, можно построить всю кривую 0((Р). Численный метод интегрирования должен быть достаточно точным, так как при существенно различных о и для зависимостей 0( (Р) характерна особенность - существование порога протекания. Как показали расчеты при в/" = - 10, достаточную точность обеспечивает метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

В простейших случаях уравнения (6.159) решаются без привлечения численных методов. Прежде всего рассмотрим систему, состоящую из плоских слоев различной проводимости. В этом случае для определения;з,,2- эффективной проводимости вдольслоев в (6.159) положим п; О, а для вычисления аз - поперечной эффективной проводимости подставим пэ-s-1. Легко убедиться, что из (6.139) следуют известные точные решения ст[,г=<з>, 03 =

Пусть, например, среда составлена нз включений сферической формы. В этом случае система в целом изотропна - п = л2 = пз = = 1/3 и выражение для эффективной проводимости имеет вил [25]

*(Р) = тШР-П + Н2~ЗР) +

+ К[(ЗР-1)+ V (2-ЗР)]Ч 8v, V = (6.160)

Нетрудно убедиться, что при о/о -* О эффективная проводимость зависит от Р следующим образом;

<!*{P)=~-i-.,i при Р>1/3.

а*(я) =0 при Р< 1/3, (6.161)

т. е. Р=1/3 - оценка критической концентрации или по терминологии [38] - порога протекания - перколяции. Если а/а со, из (6.160) следует

Р>2/3, (6.162)

а* = со. Р < 2/3,

т. е. «пробой» осуществляется при критической концентрации Р = 2/3, что соответствует Р = 1/3-концентрации идеального проводника. Этот результат кажется несколько парадоксальным, если