Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [ 79 ] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Для избежания недоразумений следует далее иметь в виду, что несмотря на то, что г зависит от т, символ ди{г, i)/dx означает частную производную только по второму аргументу х. Подставив (10.71) в (10.69) и усреднив правую часть, получим нелокальное уравнение для средней концентрации

I д

""о "а. -Ь у = -1:7 { М(х,

(10.72)

М{х, г) = <т (х)т {г)>. Если случайная функция т (х) статистически однородна, корреляционный момент М зависит от сио" (/- t). Пусть эта зависимость имеет вид

М {X, г) = Мо ехр (т - /)/е. (10.73)

В этом случае уравнение локализуется. Процедура локализации несколько отличается от применявшейся ранее и потому есть смысл привести ее.

Дифференцируя интеграл в правой части (10.72) по параметру /, запишем

ди ди fQdu \ СдМаи(2. т) д1дх~ тд! то] dl дх + о

, 1 , .ди(г.гл ,

(10.74)

Продифференцировав последнее уравнение по / и учитывая, что

ди (г. т)

V ди (г. т)

получим

то--

"о.

ди г ял 1 > 5" (г. >) J

~ dxdl mf£ dt 1 > >

од.,,, . ди (г, t) .

(10.75)

Первый член в правой части (10.75) исключается при помоши исходного уравнения (10.72), для исключения второго следует (10.72) продифференцировать по х. В итоге имеем локализованное дифференциальное уравнение второго порядка

"М1-:;1 + .2у -

dxdl + то дх"

0. (10.76)

Легко подсчитать его дискриминант

Следовательно, уравнение (10.76) - гиперболического типа. Нетрудно заметить, что оно отличается от уравнения (10.28) - локализованного уравнения переноса в поле случайной скорости и постоянной пористости. Если в (10.76) возмущенным оказывается коэффициент при du/df, то в (10.28) возмущению подвергается коэффициент при ди/дх. Это казалось бы малосущественное Отличие приводит к качественно важным следствиям. В самом деле, семейства характеристик для (10.76) имеют вид

= const,

ХГ\-1

- const

и, следовательно, скорости распространения возмущений

(10.77)

(10.78)

зависят от возмущающего параметра УМо/то мультипликативно, в то время как скорости фронтов лля уравнения (10.28) зависят от фактора В/то аддитивно. Поэтому при фильтрации в поле случайной скорости фильтрации средняя скорость движения границы- поршня равнялась невозмущенной скорости. В случае, если случайна пористость, из (10.78) имеем для Уср = (fi -fi2)/2

"о

(10.79)

Очевидно, Vcp > f/nio, т. е. граница в среднем движется быстрее, чем в невозмушенной среде. Из (10.79) для эффективной пористости имеем

ш* = шо (1 - Mo/ml). (10.80

Сравнив (10.80) с (10.65) -точным значением ш*, легко заметить их естественную связь. Формула (10.80) - квадратическое приближение (10.65),

Перейдем к анализу задачи Коши для полного локализованного уравнения (10.76), выбрав в качестве дополнительных условий начальное распределение концентрации и начальную производную по времени, найденную из усредненного интегро-дифферен-циального уравнения (10.72) при /=0,

.(.. 0)=/(х). - = -

Для уяснения физического смысла членов уравнения (10.76) целесообразно перейти к новой, подвижной системе координат, «плывущей» со скоростью Уср. Итак, при новой пространственной переменной

уравнение (10.76) принимает вил

т (1 - Ф) =7 - f 3- + (1 - Я т:, = ТТ. (10-82)

Отсюда видно, что перенос в «плывущей» системе координат осуществляется с конечной скоростыо возмущений

с = уф/шо(1-ф) (10.83)

Эффективный коэффициент дисперсии имеет вид

=Лф» п*, (10.84)

а эффективная пористость -

т* = шо(1 - ф*). (10.85)

В системе реализуется регулярный конвективный снос против основного течения со скоростью

с = 1,ф2, (10.86)

поэтому распределение концентрации будет иметь тенденцию постепенного обеднения передней части возмущенной зоны при относительном накоплении, а точнее, более медленном обеднении вещества в области заднего фронта.

Относительное влияние дисперсионного и волнового переноса целесообразно оценить как отношение длины зоны дисперсионного обмена -X V шр и параметра d, характеризующего длину возмущенной зоны. Очевидно

\ = хК/ /шос! = (I - ф2) Уe/t.

Отсюда следует, что при достаточно больших временах ( вдали от фронтов влияние волнового переноса мало по сравнению с дисперсионным.

Перейдем к решению уравнения (10.76) при дополнительных условиях (10.81). Для этого введем переменные t и т) С = 4(x - Vit), 1j = а (д: - УгО.

а = шо{1 - ф)" (2е1Рф) (10.87)

н новую функцию

г = ыехрГ- 4 (JC + 1*)1 (10.88)

Х= - шо (1 - ф)/2еа«ф, ji. = шп (I + ф)/2Со»Ф), для которой из (10.76) и (10.81) получим уравнение

<52Г/<3;д>1 + Г/4 =0 (10.89)

с условиями на прямой С = 7J-

Г(С, )с , = /(С/а)ехр

(10.90)