Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [ 54 ] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

вило, непросто определить, входит ли поле, соответствующее точному решению той или иной задачи, в класс пробных функций. Обычно Ответ на этот вопрос отрицателен, поскольку пробные функции выбираются как можно более простыми, да и к тому же для Отыскания функций, близких к точному полю, Нужно решить гу трудную задачу, решения которой мы хотим избежать, привлекая вариационные методы.

Приведем основные результаты Хашииа - Штрикмана. Рассмотрим некоторые векторные поля: у-бездивергеитное. Л - безвихревое

div 0 = 0, rot ft = О, (6.269)

определенные в области, занятой неоднородной средой. Наряду с этими

полями рассмотрим поля Ус и ftc, определенные в той же области

пространства, также соответственно бездн вер гентное и безвихревое, связанные соотношением

vc = аХ. (6.270)

где Ос -проводимость тела сравнения, считающегося однородным.

Поскольку ПОЛЯ ft и А( безвихревые, они имеют потенциалы у и ¥с

ft = -V¥. ftc = -V9c. (6.271)

Положим эти потенциалы на границе тел одинаковыми

t1s = <Pc5 (6.272) и рассмотрим поле т, определенное как

x = v- o,ft. (6.273) Вводя также поле ft" и потенциал <f"

h" = h~h,, <р = ~?о (6.274)

выпишем функционал Хашина - Штрикмана

IJ- = ri l-cftc - (о - о,)-Чг + 2тХ + Tftldr (6.275)

И очевидные условия, накладываемые на с ч <f

ft; div ft" + div t = 0, (6.276)

f"U = 0. (6.277)

в работе [411 показано, что функционал С., стационарен, если

t = (о -Ос) h, (6.278)

и достигает при этом минимума, если о < Ос и максимума при о>

> Ос. Очевидно, условие (6.278) эквивалентно уравнению v = эЛ, которое вместе с (6.269) дает полную систему уравнений, определяющих истинные поток и поле в неоднородной среде. Как уже говорилось ранее, U - стационарное значение функционала (6.275), представляет собой истинное значение энергии, диссипируемой в объеме, которое, в соответствии с вариационным принципом и выбранным Ос больше или меньше, чем значение функционала, определенного на

произвольных пробных полях т и ft, связанных соотношениями (6.269), (6.271)- (6.273)

ии. U = a*hlW. (6.279(

Уместно подчеркнуть, что эти условия требуют, чтобы пробное поле

h имело непрерывный и по крайней мере кусочно-дифференцируемый

потенциал <р. Идея метода Хашина - Штрикмана состоит в том. чтобы выбором пробных полей в некотором классе найти экстремум функционала и~ и тем самым получить границу аля энергии, дис-

сипируемой полями данного класса. Имея границу для энергии, нетрудно установить границу для эффективной проводимости. Рассмотрим, как эта идея реализуется в случае системы, состояшей из гг однородных компонентов, объемные доли которых Л. Хашин

и Штрикман полагают, что класс пробных полей t можно принять кусочно-постоя иным. те. считать постоянным внутри каждой компоненты неоднородной среды Формально это предположение можно записать следующим образом:

1= (6.280)

еде Ti-постоянные, а индикаторные функции определены как

1. h.

*, = . < X, > = Pt. (6.281)

0. rW,

При этом в соответствии с (6.276) поле h может иметь непрерывный и кусочно-дифференцируемый потенциал, так как div т порождает на границах разделов чомпоиеит интегрируемые сингулярности и, следовательно, такой выбор пробных полей t и ft до-168

пустим. Уместно подчеркнуть, что хотя поле т при таком выделении

класса является конечномерным, поле ft. вообще говоря, бесконечномерно.

Учитывая кусочную однородность т. перепишем (6.275)

Для того чтобы в (6.282) пронести варьирование по т;, поле ft следует выразить через -с и вычислить интеграл в правой части.

Для этого используем уравнение (6.276) и разложим поле т и потенциал f" в ряд Фурье

= < t > + StV*-*. (6.283)

f = (6.284)

Здесь штрих у знака суммы означает, что суммирование осуществляется по всем значениям волнового вектора, исключая к = - 0. Кроме того, поскольку поле t действительно, комплексные амплитуды Tfc связаны соотношением

t» = (6.285)

где черта над -: означает комплексную сопряженность.

Подставив разложения (6.283). (6.284) в уравнение (6.276), найдем

fk - (6.286)

а подставив разложения в интеграл из (6.282) и использовав (6.285), получим

J Г") = - ~ S (к,) (kk) (6.287)

Заменим в (6.287) суммирование интегрированием в трехмерном пространстве и введем сферическую систему координат.

Тогда 1 "" - ~ тт"

/ - - j И (кк) (кк) sin Wdid<fdk. (6.288)

Предполагая распределение областей неоднородности изотропным, интеграл (6.288) вычислим следующим образом. Представим поле