Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

X. Уравнение (9.41), которое иногда называют прямым уравнением Колмогорова, впервые получено при исследованнн броуновского движения и часто в физической литературе связано с именами Эйнштейна, Фоккера, Планка [13].

Рассмотрим подробнее коэффициенты уравнений Колмогорова. Сравнив (9.39) и (9.40) с формулами (9.19) и (9-22), определякшшмн соответственно среднее смещение частицы и тензор днсперсни смещений, найдем, что

o=d<f (T)>/dT, (9.42)

bi, = dDii (xydx. (9.43)

Легко видеть, что как прямое, так и обратное уравнения Колмогорова относятся к параболическому типу. При рассмотрении стохастических задач такие уравнения принято называть диффузионными.

Физический смысл коэффициента уравнения - вектора а очевиден. Он идентичен средней скорости смещения частиц в фильтрационном потоке. Тензор Ьц равен скорости изменения тензора дисперсии смещения частиц, далее Ьц будем называть тензором фильтрационной днсперсни. Естественно и уравнения Колмогорова при изучении фильтрационного переноса называть уравнениями фильтрационной дисперсии.

Выбор марковской модели блуждания частиц приводит к необходимости отказа от понятия мгновенной скорости частиц. В самом деле, если Ьц конечно и отлично от нуля, то за малое время t

в соответствии с (9.43) имеем <У*(1:)> - btrz и, следовательно, средний квадрат мгновенной скорости <(т)>/t = npH-c-s-O

неограничен. Это означает, что случайный процесс X (х, i) для марковской частицы недифференцируем по времени /. Как подчеркивается в (21], в случае турбулентного потока вектор х для частиц дифференцируем по времени для всех / по крайней мере дважды, поскольку удовлетворяет лагранжевым уравнениям гидродинамики, содержащим первые и вторые производные. По-видимому, так же обстоит дело и в случае фильтрационного переноса, если прн переходе к лагранжевым уравнениям фильтрации включить в рассмотрение инерционные силы, обычно игнорируемые. Тем не менее фильтрационная проблема имеет и свело специфику.

Рассмотрим установившееся фильтрационное течение в неоднородной среде с включениями различной проводимости. Как известно, линии тока на границах включений претерпевают излом и, следовательно, жидкая частица, двигаясь вдоль такой линии тока, в момент пересечения границы включения скачком меняет скорость. Очевидно, функции Х(х, t) этой частицы в такие моменты времени ие имеет непрерывной производной первого, а тем более второго порядка. Если среда существенно неоднородна, а именно этот случай и является предметом исследования, наличие

многих границ включений и достаточно большая дисперсия проводимости могут достаточно сильно повлиять на дифференциальные свойства траекторий жидких частиц, сделав их нерегулярными. Учет инерционных сил, по-видимому, позволяет сгладить угловые точки на траекториях, ио поскольку эти силы, как правило, малы, нерегулярность траекторий, порожденная нерегулярностью поля проводимости, неустранима.

Таким образом, хотя фильтрационный перенос частиц имеет свои особенности, но. так же как и в турбулентном потоке, локальное поведение жидких частиц существенно отличается от поведения частиц, управляемых марковским процессом. Поэтому марковская частица как модель жидкой частицы реального потока непригодна для детального локального описания ее эволюции в потоке.

Однако совсем иначе обстоит дело с использованием марковских частиц, если несколько модифицировать цель исследования, отказавшись от детального локального моделирования, В самом деле, несуществование мгновенной скорости марковской частицы вытекало из условия (9,43), равносильного пропорциональности ее смещения первой степени %. Но с другой стороны в соответствии с (9.30) дисперсия смещений реальной жидкой частицы также Пропорциональна первой степени т, но при условии, что х>Т - лагранжевого временного масштаба реальной частицы. Таким образом, марковскую частицу можно использовать в качестве модели реальной для оценки дисперсии смещений последней, но, естественно, При ограничении т>Т.

Перейдем от рассмотрения процесса Х(х, i) к его изучению лишь в дискретные моменты времени i = t„ = io + m и пусть шаг квантования т>Т. Тогда приращения процесса иа непересека-юшдхся интервалах длины т будут слабо коррелированными и скорее всего практически независимыми. Из этого вытекает, что

Процесс Х(х, /п) может приближенно считаться последовательностью с независимыми приращениями, которые, как известно [7], являются марковскими. Для переходных вероятностей марковских последовательностей можно получить разностные по времени уравнения с шагом т. Можно показать, что уравнения Колмогорова (9.38), (9.41) являются дифференциальными приближениями этих разностных уравнений. Отсюда следует возможность использования уравнений Колмогорова для оценки плотности вероятности состояния реальной частицы в любой момент времени (, для которого t-io>T.

Таким образом, использование марковских частиц в качестве моделей реальных явет возможность построить аналитический аппарат нсоледования, применение которого ограничено условием

? -»7-, (9,44)

Для решения уравнений Колмогорова их следует дополнить на чальными и краевыми условиями. Начнем со второго уравнения

Колмогорова. Естественно / = считать начальным моментом, для которого вектор X = х- Поэтому

f{X, П X, /о) Ь(Х-х) (9.45)

Для первого Уравнения начальное условие имеет тот же вид. иО

чтобы выделить независимые переменные to и х, мы его запишем несколько иначе

1(Х, t; X. /о)1, „ = 8(х-Л). (9.46)

Процесс блуждания частиц будем считать стационарным и статистически однородным, что возможно только в неограниченной области. Потребуем выполнения естественного для такой области условия: плотность /должна стремиться на бесконечности к нулю. Наконец, поскольку /-плотность, должно выполняться условие нормнровки (9.33) как прн интегрировании плотности в пространстве X, так и X.

Таким образом, для второго уравнения Колмогорова, помимо (9.45), имеем дополнигельные условия

Нш/(Л, /! x,to) = % (9.47)

(>1,

J/(X. Л X, t)dX = I.

Для первого уравнения Колмогорова, кроме (9.46), лополнитель. ные условия следующие;

lim/(, t; X, 4) =0, (9.48)

lf{X. t\ x,to)dx= I. Поскольку мы рассматриваем стационарный и статистически однородный процеса блужданий частицы, то, следовательно, вектор а и тензор bi, являются постоянными. В соответствии о [7], такой марковский многомерный процесс является гауссовским процессом и потому, найдя плотность /, мы получим его исчерпывающее описание. Примем для простоты, что тензор bi, приведен к главным осям, совпадающим с выбранной системой координат. В этом случае решение уравнений Колмогорова можно записать в виде

/(Л, t; X. to) =

Для получения (9.49) целесообразно ввести систему координат, движущуюся относительно первоначально выбранной системы со