Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

IB=1

2 Sin~jca.

(3.33)

Дифференцируя (3.33) no a, легко получить конечные выражения для сумм типа (3.33), где вместо (т + о) будет фигурировать (m ± a).

Для области течения-квадрата (I ~ Ь, с=1, а = р, oj = Pi) ряды (3.32) вычисляются в конечном виде

Аналогично вычисляются-.

I /if

I da )

, I i , 1 "г

!>2 + !>4 =--РЭ+Р6 = --,

P7 + !>« = l-rfTd-

Подставив найденные выражения для р( в (3.32), после довольно утомительных преобразований получим простую конечную формулу

< 92 > = - U - ¥ {im, (3.34)

где ip(2) определена из соотношения (2.17).

Сравнивая (3.34) с (3.17), легко установить, что при с= 1

X - < 92 >/9о: -s), (3-35)

где = Dqjq - безразмерная дисперсия дебита.

Прн с Ф 1 получить аналогичным образом формулы для < 92 > не удается. Поэтому для улучшения сходимости рядов при с>1 наряду в (3.33) используется очевидное разложение I 1/1 I

/л + а2

Например, для р, будем иметь

т.п-1

т.п=1

р. 2

т, п=1 I

m2 + „l

Просуммировав по m в соответствии с (3.33), а затем и по п, там, где это возможно, приняв с большой точностью при О 1, что cth/ncc= 1, получим

«.M = (-y+th+ctg4)cth4 + ilx

Последние два ряда легко вычислить, применяя обычные методы улучшения сходимости, заключающиеся в выделении относительно медленно сходящейся части, суммируемой в конечном виде, и быстро сходящегося остатка. В нашем случае удобно выделить 2/1-*, которую легко подсчитать с нужной точностью. Аналогично вычисляются остальные р. В случае с< 1 вычисления проводятся так же, но при этом принимается, что cth nm/c= 1.

Реализация описанной процедуры позволяет вычислить безразмерное смешение A.= <?2>/9ot Для различных с во всем диапазоне изменения параметра а (рис. 9, 10). Обращает на себя внимание немонотонное изменение X при конечных с > 1. Очевидно, для вытянутых вдоль оси х течений при определенных соотношениях между определяющими параметрами течение прак-

-X (7,4

1.S a/1

Рис. 9. Завненмость безразмерного шещения дебита квазиодномерного течения от параметра all для различных с = Чо > 1

S : * а/г

Рис. 10. Зависимость безразмерного смешения дебита к ваз к одном ери ого течении от параметра all для различных с-=11Ь < I

тически одномерное. Для этого достаточно, чтобы о/& > 1, а/1<1. Уменьшение а прн фиксировании остальных параметров приводит к увеличению флуктуации поля скоростей, увеличению роли двумерностн течения. В конечном счете прн о-*-0 все кривые, исключая случай с=оо, сходятся в точке Х = -1/2. Таким образом, при с = 1 точная расчетная формула записывается в виде простого конечного соотношения, а при с=1 смешение выражено в виде комбинации быстро сходящихся рядов (см. рнс. 9, 10).

Такая ситуация в принципе исчерпывает задачу определения смещения, однако заманчиво и для случая с =1 получить конечную формулу, пусть даже и приближенную. К сожалению, обычный путь тождественных преобразований соотношения (3.32), оказавшийся плодотворным при с = 1, в общем случае реализовать не удалось.

Далее мы попытаемся «сконструировать» формулу для X, используя структуру функции Грина и интегралов, некоторую симметрию искомых соотношений, знание асимптотических формул.

Запишем точную формулу (3.34) следующим образом:

Х = [1 -9 ( а) 9 (1/а) -Ь (1/а)] (3.36)

Обратившись к формуле (3.32), представим ее в виде

-X = 11 - ¥ (1/а) I <? (Ь/а) + Д, (3.37)

где Д объединяет в (3.32) все остальные члены. Очевидно, что прн 1 = Ь формула (3.37) должна перейти в (3.35). Естественно ожидать, что при I = b выражение Д имеет вид

Д 111 - <Р ( о) [ 1 - <р (Ь/а)I- (3.33)

Подставив принятое значение Д в (3.37), получим

X = - у II - ср ( а)) [1 -Ь 9 (&/о). (3.39)

Рассмотрим некоторые предельные ситуации. Естественно, что при 1=Ь формула (3.39) переходит в (3.34). Прн Ь/а-0, т. е. в одномерном случае, из (3.39) следует точная формула (2.17). Прн конечных / и & иа-*-0 из (3.39) получаем точный результат Я = -1/2. При а-*- ОО и конечных / и b имеем А.-*- О И наконец, сравнение расчетов по формуле (3.39) во всем диапазоне изменения определяющих параметров с результатами расчетов на ЭВМ по формуле (3.32) не позволило обнаружить разницу результатов (сравнивались пять значащих цифр). По-видимому, такое совпадение не может быть случайным, формула (3.39) «угадана» верно, и в этом смысле может считаться точной. Заметим, что указания на некоторое расхождение между результатами расчетов по формулам (3.39) и (3.32), имеющиеся в работе [36], объясняются тем, что первоначально суммирование рядов в (3.32) проводилось с недостаточной точностью. Более точные расчеты с помощью ЭВМ, как уже говорилось, дали одинаковые результаты.