Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

в виде т» = т» + ill и подставим в (6.288) Тогла интеграл примет вид

= - 7 ? У ? {(krk) +(krl)2} sin fdWdfdk, (6.289) = и и б

и поскольку векторы и коллннеарны вектору he, выражение 6 фигурных скобках можно переписать в виде

К* + (kl)] = h (т; + \7) соьЧ (6.290)

при УСЛ0И1И, что полярная ось сферической системы координат сов-

м«цеиа с вектором А,. Подставив (6.290) в (6.289) и учитывая, что

т/) в изотропной Среде не зависит от углов, получим

(6.291)

С Другой стороны, аналогичные преобразования приводят к соотношению

Л- г ~idW = <~т >г + 4it f (Гт*) кЧк. (6.292) U? и

Сравнив (6.291) и (6.292), найдем

= -l<T>-<t>n.

(6.293)

Используя условие кусочного постоянства т, из (6.280) и (6.281] получим

(6.294) (6.295)

Подставив (6.293), (6.294) и (6.295) в функционал (6.282). запи-

2т,-

(6.296)

Таким образом, в рамках сделанных предположений о кусочной

однородности поля т и изотропии неоднородной среды функционал Кашина - Штрикмана является квадратичной формой параметров Т(. Для оптимизации продифференцируем (6.296) по т, и приравняем производные нулю. Тогла

=--. .-I , --. < г > = S т,-Р(. (6.297)

Из (6.297) следует

<т> = ,-, =SP,[(a,-o,)-4-(3cc)-4-. «=(3oc)-.

(6.298)

Подставив (6.297) и (6-298) в функционал (6.296) и учитывая (6.279), получим для о* границы:

верхнюю

(G.m)

нижнюю

I Ja если с > (6.3(Ю)

Пусть множество упорядочено таким образом, что

31 = min в,, вч=-тахз,-. (6.301)

Тогда верхняя граница будет оптимальной, если в (6.299) положить зс = 3]. Соответственно для получения оптимальной нижней границы следует в (6.300) положить Зс = а„. Полученные таким образом границы и образуют вилку Хагиина - Штрикмана.

Выпишем выражения Гранин Хашина - Штрикмана для изотропной двухфазной системы а = 31, ог. где а, < аг

Р Р Н--;--р-<о*<згН--;-!-р-. (6.302)

Границы для двухфазных изотропных систем иа плоскости можно получить аналогично, их вид совпадает с формулой (6.302), лишь следует тройки в знаменателях заменить двойками. Вилку Хашина - Штрикмана будем называть вилкой II.

Согласно [20] вилка I для двумерных (плоскил) изотропных систем является точной. Более того, точной является в случае двух измерений следующая вилка для произвольной анизотропной системы:

(6.303)

где 3. - компоненты тензора эффективной проводимости, приведенного к главным осям.

Для доказательства точности вилки достаточно показать, что существуют конкретные плоские двухфазные системы, для эффективных проводимостей которых последние неравенства обращаются в равенства.

В самом деле, образуем слоистую структуру А, слои которой имеют проводимости а, и оа. Если i? - концентрация слоев

с проводимостью Ог. то продольная н поперечная эффективные проводимости слоистой структуры будут следующими:

= (1 - в +дс2: (6.304)

as = [(1 - д) оГ + даГ]-.

Если теперь из только что созданной слоистой системы образовать новые слон - полосы, ортогональные к первоначальным, а их, в свою очередь, с концентрацией v перемешать со слоями проводимости 0[, то эффективная продольная и поперечная проводимости системы В при условии, что в полосах из системы А элементарные неоднородности образуют бесконечно тонкие полоски, составят соответственно

о! = v(l ~д) оГ + •гоа"!-! + (1 - »)сг,

"2= Ь(1 + до2]~ + (1 -v)<jrj-- (6-305)

Исключив из а, и 5г параметры д и м, связанные очевидным соотношением gv = Р, получим выражение, обращающее левое неравенство (6.303) в равенство. Аналогично доказывается точность правого неравенства (6.303). Легко убедиться, что для макроскопически изотропных систем (о, =02) эта процедура доказывает точность границ Хашнна - Штрикмана.

Обратившись к формулам (6.215) и (6.216), нетрудно убедиться, что границы (6.302) получаются, если в формулу для сингулярного приближения эффективной проводимости подставить вместо Зс поочередно а. На. Напомним, что границы Хашина-Штрикмана реализуются и а приближении эффективного поля.

Рассмотрим подробнее связь метода Хашнна - Штрикмана с методом и результатами сингулярного приближения. Нетрудно убедиться, что соотношение (6.297) для оптимального поля х можно переписать в виде

= ,5 - бс) Л,. Л, = (б + 2ос)- < (о + 2вс) >-Ас- (6.306)

Сравнив (6.306) с (6.212), можно увидеть, что /is-в точности совпадает с полем в сингулярном приближении, если принять

в (6.212) = -1/Ззс. Поле h,. как и т, являегся кусочно-постоянным и зависит е пределах фиксированного включения лишь от проводимости этого же включения. Существенно и то, что во всех

включениях поле Л, кллинеарио полю Естественно, что такое поле не может иметь непрерывного потенциала и, следовательно, не может входить в класс пробных полей. Очевидно, допустимое пробное поле h, порождаемое кусочно-постоя иным полем х, в соответствии G (6.306) и (6.274). (6.276), (6.277) не будет кусочно-постоянным.

а потому Пространство пробных полей h будет бесконечномерным, 172