Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Введем малый парамегр е и рассмотрим семейство задач

V\a(я-x)Vu\=f, KD, мs = О . (6.17)

Усреднение семейства операторов (6.17) трактуется как задача построения оператора Aiu).

Л(и) = V!o-(x)V«l = /. xD, i/-5 = 0, (6.18)

такого, что ы*-i-ы" в норме (D) при е-* О для любой функции /a(D).

Аналогично ставится задача усредиеиия лля параболических и гиперболических уравнений.

Приведем результаты построения усредненного оператора для случая, когда а(х) по переменным х\..... х„ - периодический тензор с периодом 1 111).

В этом случае

oi. = S < "-jf-> + (6-19)

где символ усреднения < > означает интегрирование по объему единичного куба периодов; Ns{y) - периодические с периодом 1 функции в этом же кубе, удовлетворяющие уравнениям

Таким образом, определение эффективных проводимостей сведено к решению эллиптических уравнений (6.20) и последующему усреднению по формуле (6.19). Реализация такой процедуры весьма трудоемка, поскольку решить уравнение (6.20), как правило, можно лишь численно, что, в свою очередь, связано с большими трудностями. Отсюда ясно, что действуя таким образом, установить зависимость эффективной проводимости от параметров периодической структуры, неоднородности поля проводимости вряд ли практически возможно. Аналогично и даже еще сложнее обстоит дело при рассмотрении стохастического варианта задачи. Прн этом следует учесть, что анализ процессов в неоднородных средах далеко не исчерпывается задачей определения эффективных характеристик. Не менее важны всякого рода корреляции полей. Уместно добавить, что точные решения задачи определения эффективных параметров, строго обоснованные теорией усреднения операторов,- все те же случаи одномерных (слоистых) структур и результаты А. М, Дыхне [9], полученные иным путем.

ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОЛЕП. ТОЧНЫЕ РЕШЕННЯ

Как уже отмечалось, известные приближенные решения не всегда удовлетворительны при сильных флуктуациях поля проводимости. Следует отметить также отсутствие эффективных оценок погреш-110

иостей результатов, так же как и практически полное отсутствие точных решений задачи определения эффективной проводимости. Исключением в данном случае, помимо уже упомянутых слоистых структур, является работа А. М. Дыхие [9], в которой длн определенных двумерных систем получено точное значение эффективной проводимости, что стало возможным благодаря найденному автором линейному преобразованию системы дифференциальных уравнений, известным образом преобразующему макроскопические характеристики среды. Далее излагаются метод и некоторые результаты [9], примеры возможных обобшений. делается попытка получения приближенных зависимостей для эффективных характеристик [36].

Итак, пусть «поток»-вектор v и поле h связаны системой соотношений

v=ah, divy = 0, го1Л = 0. (6.21)

Локальная проводимость является случайным тензором, зависящим от координат х, у. Введем средние по пространству поток н поле

VQ- ivdw, Я = Й- fMa> (6.22)

И определим тензор эффективной проводимости системы а* из соотношения

V = а-Я. (6.23)

При этом характерный линейный масштаб области усреднения Q, например ее диаметр, должен быть значительно больше масштабов

корреляции полей у и Л.

Введем в рассмотрение поля и и Л в качестве общих для всего двумерного пространства линейных преобразований полей и и h

v= a.M,h-{-Мги, к = рМц) + Ш4к, (6.24)

Здесь а. р, -j. S-произвольные постоянные; Mi - матрицы поворота на постоянный угол <fi.

V-sm?! cos¥(/ Используя уравнения (6.21), получим

div v = acosfi div /i + Y sin Totv,

rot ft = p cos rotj v + b sin f4 div ft. (6.26)

Для того чтобы поле v не имело источников, достаточно положить

Аналогично для потенциальности поля Л достаточно принять

Уз = ± т/2. = 0. Поскольку постоянные а, р. 7. S произвольны, положим для определенности

M, = M3 = f \=M, МгМчС* (6.27)

Поскольку штрихованные поля являются линейными преобразованиями полей f и А, они также связаны линейно

v=ah, (6.28)

где, как легко проверить, тензор я определяется зависимостью о = [а.М + [рМз + В£Г. (6.29)

Вводя Средние штрихованные поля V" и Я в соответствии с (6.2 и учитывая, что они также связаны линейно

V = сН, (6.30)

найдем для неслучайного тензора эффективной проводимости штрихованной системы

о, = [аМ + 73! [рМа- + В£)->. (6.31)

Таким образом, (6.24) определяет преобразования локальных и эффективных проводимостей исходной и штрихованной систем. Если известен один из тензоров (о либо о,), нз (6.31) легко определить Другой, в некоторых случаях основная и штрихованная системы макроскопически эквивалентны, т.е. з= з, = я. Тогда (6.31) можно рассматривать как матричное уравнение относительно о. Именно в таких случаях А. М. Дыхне 9) получил точное решение задачи определения эффективной проводимости.

В соответствии с принципом ОнзагерЭ тензор о симметричен. Пусть з и 0 -его компоненты после приведения к главным осям. Тогда из (6.29) имеем

5 = ! /(tS + "Р) «В - \ (g 32j

+ \-аЗ + 7ро1з2 (7В+ар)з7

Поскольку естественно выбрать преобразование таким образом, чтобы о также был симметричным тензором, следует положить при переменных по пространству о и

В = 7 = О, (6.33)

т.е. (6.32) так же, как и (6.31), принимает вид

= V о (o)-j