Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Как известно, одним из самых информативных методов изуче-«ия неоднородности разреза скважин является электрический каротаж. Теория электрического каротажа по методу сопротивлений основана на использовании решений уравнений потенциала для сред с разного вида регулярными иеоднородностями, представленными обычно в виде так называемых палеток. Сравнение измеренного поля с палетками позволяет выделить из них наиболее согласующуюся с измеренным полем и тем самым высказать правдоподобные суждения о строении ка ротируемого разреза. Однако при достаточно большом количестве поверхностей раздела формулы теории становятся весьма громоздкими, н использование их для анализа и интерпретации затруднительно. Поэтому обычно мелкомасштабные аномалии поля не интерпретируются, что, безусловно, приводит к потере информации о строении каротируемой среды. По-видимому, выход в этом случае должен быть связан с использованием статистического подхода и созданием адекватного метода расчета и интерпретации. Кроме того, статистическая теория каротажа позволит с некоторой новой точки зрения оценить н проанализировать известные стандартные методы каротирова-ния и наметить пути их совершенствования.

Рассматривая задачу о поле в стратифицированной среде, будем пренебрегать влиянием на него скважины, бурового раствора и т. д. Хотя эти факторы оказывают значительное влияние на поле, это влияние регулярно и при статистическом анализе, по-видимому, его можно исключать.

Итак, пусть в начале координат пространства г{х, у, г) расположен точечный источник электрического тока интенсивности У. Будем считать, что проводящая среда стратифицирована таким образом, что проводимость ее зависит лишь от одной координаты, например z. Тогда потенциал электрического поля в пространстве определяется в результате решения уравнения

*«ё + 0 + Э + Й=-Мг-) (4.18,

при условии

limu(r) = 0. (4.19)

Будем считать, что проводимость k(z) является случайной функцией координаты г, и займемся поисками статистических

характеристик решения и(г) в зависимости от характеристик проводимости й(г). Очевидно, выполнение этой программы в общем случае весьма затруднительно, и потому дальнейшее изложение будет связано с построением приближенных решений задачи, основанном на использовании методов теории возмущений. Будем полагать, что случайная проводимость представлена в виде

k (2) = kok (2), ;feo = < ft (2) > = const (4.20)

и решение и (г) искать в виде ряда

и = ио+и, + ..., (4.2])

где функции Ui определяются следующим образом.

Нулевое приближение и» есть рещение невозмушенной задачи, т.е. задачи (4-18) - (4.19) прн условии, что й(г) = *о- Очевидно, уравнение для иевозмущениой задачи можно записать так:

у2ыо = -/ArS(r). (4.22)

Чтобы получить уравнение для щ, следует в (4.18) подставить и = uo-f ui и, отбросив члены, квадратичные по флуктуациям, а также учитывая уравнение для uo, написать

V",=-V Vac-f-ij. (4.23)

Поступая аналогично и далее, нетрудно записать для любого номера п

un = -ко (к Vix.-, + %) = (г). (4.24)

Очевидно, что для всех Ыч должно выполняться условие (4.19). Как известно, решение задачи (4.24), (4.19) можно представить в виде

«М0 = 1о(г, r)p,(r)dr3.

(4.25)

где интегрирование производится по всему пространству, а функция Грина G есть вырождающееся на бесконечности решение уравнения

VG(f, г) = -5(г-г), (4.26)

которое, как известно, имеет вид

G(r, г) = 1/4яг -rj. (4.27)

Таким образом, формулы (4.27), (4.25) и (4.21) дают возможность записать решение исходной задачи и перейти к ее статистическому анализу. В то же время очевидно, что вычисление и„ а соответствующих статистических моментов при достаточно больших п связано со значительными трудностями. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся исследованием так называемого борнов-ского приближения, т. е. анализом поля, образующегося от рассеяния иевоз My шейного решения Uq иа неоднородиостях к. Легко заметить, что для вычисления среднего поля <м> этого приближения недостаточно. Ограничившись в этом случае лишь исследованием асимптотического случая мелкомасштабных неоднородностей, основные усилия сосредоточим на вычислении вторых моментов поля или его производных.

Вычисление среднего поля Используя (4.22), нетрудно написать

Но (г) = /кТО (г, 0). Подставляя (4.28) и (4.23), получим уравнение для щ

k(z)b(r)~G,(r. 0)

(4.28)

(4.29)

Вычислим U и подставив его в уравнение для Ыг, получим после усреднения по вероятности

У<Ыг> = --jB(r)-f ~5G,(r. 0)Kziz, 0) +

"a

(4.30)

Здесь К (г, г) = < А (г) ft {?) > - корреляционная функция проводимости; Г> = /С(0, 0) - ее дисперсия.

Поскольку вычисление интеграла в (4.30) сопряжено с большими трудностями, рассмотрим лишь случай, когда масштаб корреляции проводимости весьма мал по сравнению с г. Легко видеть, что среда в этом случае эквивалентна однородно-анизотропной среде, проводимость которой в направлении х и у равна Ао, а в направлении ? равна ft] = < Uk>~K

Для среднего поля в этом случае можно записать уравнение

<и> , <и>

+ ft

<и> д

--/5 (г).

решение которого имеет вид

На оси г(лг = 0, у=0) решение запишется так

< ы> = 4яАог,

(4.3])

(4.32) (4.33)

т. е. будет тождественно решению в однородной «реде проводимости Ао. Последнее обстоятельство очень важно, так как позволяет с достаточным основанием использовать на оси z в качестве среднего поля невозмушенное решение мо. Интересно отметить и связь коэффициента предельной анизотропии X с характеристиками случайной функции ft. в самом деле.

ft, = < 1/ft >-> = < -J-T7 = <

.2 V -

"О

> =

ft„(H-ft/ft„)

(4.34)