Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Очевидно, при е>Т из {10.28) сразу следует уравнение {10.22), Случай малых K<i сложнее, и мы рассмотрим его после приведения уравнения (10.28) к каноническому виду. Дифференциальная форма в квадратных скобках из {10.28) уже пассматривалась и было установлено, что она гиперболическая. Поэтому уравнение (10.28) относится к гиперболическому типу. Введем новые независимые переменные

; = г, yix-Wt/m (10.29)

и, преобразовав к ним уравнение (10.28), запишем

ди eS ди ди ,,п on,

-5- «п-77- (10.30)

Уравнение (10.30) целесообразно представить в иной форме, заменив попутно с на /

JT г--T-Zo -TS. (lO.JI)

X = Be/m, = Bjm?.

Уравнение {1031) называется телеграфным, параметр c=VB/m определяет скорость распространения возмущений относительно подвижной системы координат, параметр х характеризует диссипацию, дисперсию возмущений. Естественно назвать коэффициентом дисперсии, а с-скоростью дисперсии.

Отметим важную особенность локализованного уравнения дисперсии. В отличие от уравнения дисперсии (9.50), полученного на базе марковской гипотезы о блуждании частиц, это уравнение содержит волновой член cdu/dt предопределяющий конечную скорость распространения возмушеннй. Эта скорость не что иное, как средняя квадратическая скорость жидких частии.

Следует отметить, что аналогичные уравнения известны в теории молекулярной диффузии (броуновского движения), учитывающей инерцию частиц, в теории турбулентной диффузии с конеч-fiofi скоростью [21]. Телеграфное уравнение для диспергируемой фильтрационным потоком примеси получено в работе [50] в предположении конечности времени корреляции скорости блуждания жидкой частицы. Для получения таких уравнений принимается

гипотеза, что марковской является вектор-функция (Х(х, t),v(x, I)) и для вводимых в рассмотрение плотностей вероятности выписывается система уравнений Колмогорова, которая при некоторых упрощениях сводится к телеграфному уравнению. В работе 21] приведено подробное обоснование этой процедуры и дан анализ некоторых частных случаев турбулентной диффузии с конечной скоростью. Уместно отметить, что если при таком подходе для получения физически естественного эффекта конечности скорости возмущений необходимо специальное конструирование марковского процесса, непосредственное усреднение уравнения переноса

автоматически приводит к телеграфному уравнению. Кроме того, как будет ясно из дальнейшего, на этом пути нет трудностей с определением коэффициентов усредненных уравнений переноса. В то же время при использовании марковских процессов, отсутствие лагранжевых корреляционных функций скорости вынуждает при определении коэффициентов уравнений принимать гипотезы о величинах лагранжевого временного масштаба.

Вернемся вновь к задаче Коши для уравнения (10.31), рассмотренной раньше для случая 8>/. Начальные условия в подвижной системе координат имеют тот же вид

"(5. 0) = /(1г), ди i-Q, 0)/д( = 0.

При таких условиях решение уравнения (10.31) можно представить следующим образом:

и (1), ехр (- "jj ( -rf) +

cl -с1

(10.32)

где 1о(У), / (у)-функции Бесселя мнимого аргумента.

Рассмотрим эволюцию примеси, введенной в точке х = О прн помощи мгновенного точечного источника, В этом случае f{x) = = qb{x) и из (10.32) следует, что при 1з<с/

b(7i~ct) + b(r, + ct) +

(10.33;

Если же \ yi\>cl, концентрация и (ij, t) =0,

Эта задача в терминах теории турбулентной диффузии с конечной скоростью рассмотрена и проанализирована в работе [21]. Приведем некоторые результаты этого анализа.

Решение (10.33) показывает, что порция примеси, поступившая в начальный момент / = 0 в точке д:=0, далее диспергируется

оставаясь всегда в зоне - -с t, --t-c / .На границах зоны-

1\ т \ т ) \

подвижных фронтах сосредоточено конечное количеотво п римеси. Как видно из (10.33), на каждом фронте это количество равно (<7/2) х X ехр (-тс 2х2). Подстановка значений х и с из (10.31) дает для фронтовых порций примеси значение (д/2) ехр (- 2s) и, следовательно, при / >£ концентрация на фронтах мала.

Для оценки концентреции между фронтами, но вдали от них, положим в (10.33) IijI -Сс/ и разложим аргументы функций Бесселя

-0.S

Рис 68. График непрерывной часта функции распреяелеинн кониентрэиин от мгновенного точечного источника примеси при ( = 4е

Рнс, 69. График непрерывной части функции распределения концентрации от мгновенного точечного источника примеси прн t = \0t

В ряд по ц. Считая, как н ранее, />е и используя агимптотиче-ские представления функций Бесселя, получим для ij < г/ и/>е

(10.34)

т. е. решение уравнения (10.31) при условии с-*-оо, что означает слабое влияние конечности скорости дисперсии нэ изменение концентрации вдали от фронтов при условии, что время корреляции мало по сравнению с t. Наглядное представление о влиянии конечности скорости дисперсии на распределение концентрации можно получить по рис, 68, 69, заимствованным из работы [21]. На этих рисунках пунктиром нанесены кривые, соответствующие (10.34), т. е. решению параболического уравнения переноса.

Это сопоставление показывает, что гиперболическое уравнение для средней концентрации целесообразно использовать для исследования процесса либо для малых времен (, либо в тех случаях, когда важно знать концентрацию в окрестности фронта. В остальных случаях приемлемо параболическое уравнение переноса.

Теперь становится понятным, почему при непосредственной локализации интегро-дифференциального уравнения (10.16) было получено уравнение (10.18)-параболическое, а не гиперболическое. Действительно, условие е</, прн котором была осуществлена локализация, как раз и определяет несущественность волнового члена в уравнении переноса, достаточную точность параболического уравнения для средней концентрации.

Полученные результаты позволяют с несколько иной точки зрения оценить метод моделирования переноса при помощи марковских процессов, приводящий к параболическому уравнению переноса. Если для обоснования такого моделирования приходилось привлекать в достаточной мере интуитивные соображения о допустимости замены непрерывного процесса специальной цепью Маркова, то прн непосредственном усреднении уравнений переноса мы получили параболическое уравнение и условия его применимости, а также более общее уравнение гиперболического типа. Следует учитывать, что гиперболическое уравнение позволяет изучать такие процессы, для которых параболическое уравнение