Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

и е0 > 0, называется показателем Ляпунова. Потеря устойчивости движения происходит в тот момент, когда показатель Ляпунова становится положительным. Из этого примера ясно, что показатель Ляпунова определяет чувствительность траектории к изменению начальных условий. Поэтому эта величина может быть использована в качестве количественной характеристики, «измеряющей» детерминированный хаос.

Таким образом, при постепенном увеличении от отрицательных значений к положительным в точке A = 0 происходит бифуркация: устойчивая точка равновесия переходит в устойчивый предельный цикл. Эта бифуркация называется бифуркацией Хопфа (E. Hopf, 1942 г.). Соответствующая бифуркационная диаграмма приведена на рис. 1.9.

Точка покоя и предельный цикл являются примерами инвариантных множеств - встроенных в фазовое пространство объектов, отображающихся сами на себя в ходе эволюции системы.

Совокупность инвариантных множеств, имеющихся в фазовом пространстве данной динамической системы, во многом определяет характер движения, поэтому эта совокупность называется фазовым портретом системы.

Рис. 1.9. Бифуркация Хопфа

Решающую роль в определении структуры фазового портрета играет теорема единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, связанная с именами О. Коши (A. Cauchy, 1820-30 гг.) и Э. Пикара (E. Picard, 1891-96 гг.). Эта теорема утверждает, что при довольно «мягких» условиях на функции (x) существует единственное

решение задачи

1 = fi (к1, x2,..., xn ), xi0, i =1,2,..., n,

(1.6)

если только начальное состояние не представляет собой точку покоя.

При рассмотрении фазового пространства это означает, что пересечение двух траекторий в точках, отличных от точки покоя, невозможно.

Если же говорить о предсказуемости движения, то именно единственность решения задачи Коши долгое время поддерживала уверенность в невозможности случайных движений динамических систем. Однако, как уже отмечалось, движение может стать непредсказуемым, если траектории неустойчивы относительно малого изменения начальных значений.

«Разбегание» траекторий само по себе еще не приводит к стохастич-ному поведению. Необходимо еще существование некоторых статистических закономерностей, наличие средних по времени величин, связанных с тем, что система вновь и вновь возвращается в состояния, близкие к исходным. Такие движения возможны, если в фазовом пространстве имеются незамкнутые траектории, бесконечно и беспорядочно блуждающие внутри некоторой ограниченной области. Подобные траектории образуют инвариантные множества, которые в случае диссипативных систем являются аттракторами.

Более подробные исследования показывают, что аттракторы, на которых реализуются хаотические движения, имеют фрактальную структуру, т. е. характеризуются дробной размерностью. Причину этого легко понять, если процесс перепутывания траекторий представить себе как перемешивание «фазовой жидкости».

Возьмем множество траекторий, которые в начальный момент времени исходят из близких точек, образующих маленький фазовый объем -каплю «фазовой» жидкости. Предположим, что эта «капля» отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области фазового пространства (рис. 1. 10).

Если в этой области есть устойчивая точка покоя, то «капля» стянется в эту точку (см. рис. 1.10, а). При наличии аттрактора в виде предельного цикла капля через некоторое время растянется вдоль него и «окрасит» лишь узкий поясок в его окрестности (см. рис. 1.10, б). На аттракторе хаотической системы (см. рис. 1.10, в) капля жидкости испытывает повторное влияние растяжения и изгиба, что, как мы уже убедились на примере преобразования подковы (п. 1.1.3), приводит к образованию фрактальной структуры. При этом «капля» хорошо перемешивается с неокрашенной жидкостью и образует характерные разводы, более или менее равномерно окрашивая всю притягивающую область.

За связь с непредсказуемым хаотическим движением, а также за наличие фрактальной структуры аттракторы динамических систем, демонстрирующих хаотическое движение, получили название странных аттракторов (strange attractor). Понятие о странных аттракторах было введено Рюэлем и Таккенсом (D. Ruelle, F. Takens, 1971 г.) при обсуждении перехода к турбулентности.

t = t1 > 0

t = t2 > t1

Рис. 1.10. Эволюции капли «фазовой» жидкости

Хаотические движения детерминированных систем впервые обнаружил американский метеоролог Э. Н. Лоренц (E. N. Lorenz, 1963 г.), исследовавший систему вида

ddx = a(y - x),

dt dy

= rx - y - xz, = xy - bz.

(1.7)

При (7 = 10, b = 8/3 и r = 28 эта система имеет странный аттрактор с размерностью D = 2,05 ± 0,01, изображение которого, образованное интегральными кривыми в фазовом пространстве, удивительно напоминает крылья бабочки с узором, похожим на разводы, получаемые при перемешивании красок.

Отметим, что система (1.7) была выведена Лоренцем при упрощенном моделировании процессов тепловой конвекции в земной атмосфере. Из наличия у этой системы странного аттрактора следует, что погода и