Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 [ 58 ] 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

даже месяцев [10]. При фильтрации в неоднородной пористой среде следует ожидать наличия множества одновременно идущих процессов с весьма различными временами релаксации, соответствующими молекулярным взаимодействием различных масштабов и неоднородностям геометрии

пор.

При обычных предположениях теории упругого режима [11, 12] соотношение (3.12) приводит к уравнению нестационарной фильтрации вида

д p + Я д2p = { д2p Я д~P д t уд x д x д t

идентичному полученному в теории трещиновато-пористых сред.

Здесь m и k - пористость и проницаемость среды, м - вязкость жидкости, вж и вс - сжимаемость жидкости и пористой среды.

Механизм обмена жидкостью между блоками и трещинами объясняет возникновение релаксации давления. Вместе с тем релаксация давления в пористой среде может быть обусловлена не только этой причиной. Многие результаты, полученные при изучении фильтрации в трещиновато-пористых средах, могут быть интерпретированы более широко - для сред со сложной геометрией пор или составных (песок + глина + ...) пористых сред, характеризующихся микронеоднородностью.

Если рассматривать задачу о восстановлении давления в полубесконечном линейном пласте с начальным распределением давления p(x,0) = ax, то, взяв граничное условие (2.14) при х = 0, для определения давления можно получить формулу

p(0,t)

Vt--T exp

2ЯрЯи

Яр +Яи

2ЯрЯи

Из этой формулы, в частности, следует, что для малых времен

р(0, t) - 3at

т. е. вместо крутого (пропорционального 4t) роста давления, характерного для классической модели, происходит весьма медленный (пропорциональный ) его рост. Для больших значений времен имеет место асимптотическая формула

р(0, t )~2 xt In

Яр +Яи 3Я2р + 4ЯрЯи+ 3Я22

т. е. поведение давления будет почти таким же, как и при Яр = = 0.

В работе [13] приводятся кривые восстановления давления (КВД) для составных пористых сред, полученные на линейных лабораторных моделях. Эти кривые имеют ярко выраженный линейный начальный участок,

3.3. Масштабная ннварнантность временных иерархий в процессах релаксации вязкоупругнх сред

Многие практически и теоретически важные задачи приводят к необходимости моделирования процессов релаксации в реофизически сложных средах. Такие среды встречаются при производстве самых разнообразных материалов (резины, пластмасс, тканей, красок, смазок, пищевых продуктов и др.) [9, 15-19]. Исключительно большое значение они имеют также в процессах, связанных с добычей нефти [19-21]. Интерес к ним обусловлен огромным разнообразием новых эффектов, могущих возникнуть в релаксирующих материалах. Изучение их реологии способствует лучшему пониманию и усовершенствованию технологических процессов, рациональной разработке новых высокоэффективных технологий и продуктов.

Релаксационные явления в реофизически сложных средах связаны с медленным развитием процессов перегруппировки структурных единиц различного масштаба. (Так, в случае полимеров таковыми являются гибкие молекулы, их отдельные сегменты или же пачки, образованные этими молекулами.) Эти процессы приводят к запаздыванию изменений деформации от изменения напряжения (гистерезис, упругое последействие, релаксация напряжения и т. д.) и могут быть описаны с помощью моделей упругих тел с внутренним трением и вязких тел, обладающих упругостью. Механические модели вязкоупругих тел полезны для понимания качественных особенностей явлений релаксации, но их применение к количественному описанию реальных материалов требует построения очень сложных систем, состоящих из большого числа различных пружин и вязких элементов (что связано с наличием иерархии структурных единиц различного масштаба, приводящей к иерархии широко распределенных времен релаксации). Ясно, что сложные модели не могут оказаться эффективными - слишком велики трудности, связанные с определением многочисленных релаксационных параметров по экспериментальным данным, а также с решением задач моделирования движения сред с широким спектром времен релаксации.

Ниже показано, что отмеченные затруднения могут быть преодолены за счет конкретизации структуры временных иерархий, определяющих релаксацию в реофизически сложных средах. Проведен анализ эксперимен-

тогда как классическая теория дает зависимость типа Vt. Линейный характер на начальном участке хорошо объясняется, если принять Я? Ф 0 при Я; = 0, причем для коротких моделей не пьезопроводность, а время релаксации определяет процесс [14].

3.3.1. Релаксация напряжения в вязкоупругих средах

Многоуровневые процессы релаксации в вязкоупругих средах описываются моделью обобщенного тела Максвелла с функцией релаксации

0(t)= :t Gi exp

где Я - характерное время релаксации на i -м уровне организации структуры; Gi - коэффициент, определяющий «вклад» i -го уровня в общий

процесс релаксации.

Мастабно-инвариантное распределение релаксационных параметров проявляется в скейлинговых законах вида

Gn = G0- = G0exp(- nl), l = In /1; (3.15)

/1"

Яп = Я0тп =Яoexp(nm), m = In m1, (3.16)

или вместо (3.16)

Яп =Я)П. (3.17)

Таким образом, при наличии временной масштабной инвариантности lnGn должен линейно уменьшаться с увеличением n.

Существование такой зависимости подтверждается данными работы [18], в которой приведены значения Gn и Я" для нескольких иерархических уровней образцов монодисперсного и полидисперсного полистиро-лов. По этим данным линейной является и зависимость от номера уровня логарифма времени релаксации, что может быть проявлением закона (3.16).

Выбрав скейлинговые законы (3.15) и (3.16) и преобразовав сумму в функции релаксации в интеграл, получим

Ф(1) = G0 Jexp(- xl)exp exp(- xm)

тальных данных, который показывает, что распределение времен релаксации в этих средах может оказаться масштабно-инвариантным, т. е. иметь фрактальную структуру. Показано, что наличие временной фрактальности позволяет облегчить описание процессов релаксации, приводя на больших временах к универсальным релаксационным функциям достаточно простого вида [22, 23]. Показано также, что в ряде случаев возможно использование реологических моделей, содержащих производные дробного порядка.