Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

д t д X д X2 c

t=0 = 0, (2.20)

= 0 , (2.21)

X=h(t)

f (t) , (2.22)

X=h(t)

где h(t) и f(t) - экспериментально определяемые функции (табл. 2.1).

Перейдя к безразмерным переменным

- t X 7- h t = -, X = -, h = -

t0 h h0

Оценивание во временной области

Если решение прямой задачи может быть переведено во временную область, то используют обычные приемы минимизации суммы квадратов отклонений (раздел 2.1.1). Для облегчения процедуры обращения рассматриваются асимптотики s 0 (t или s (t 0).

Рассмотрим пример эффективного применения преобразования Лапласа при решении обратной задачи определения коэффициента диффузии раствора поверхностного активного вещества (ПАВ) в ходе следующего эксперимента.

Вертикальная стеклянная трубка нижним концом погружена в раствор ПАВ с постоянной концентрацией С0. В начальной момент времени в

трубке находится столб чистой воды высотой удерживаемый силами

поверхностного натяжения. Раствор ПАВ начинает диффундировать в воде, за счет чего происходит понижение уровня воды в капилляре, причем это изменение уровня замеряется.

Исходя из формулы c = h =(h0 -hpgr, где k = -da, а - коэффи-

X=h 2k dc

циент поверхностного натяжения, h - высота столба жидкости, можно вычислить концентрацию в верхней части столба (величина k определяется в предварительных опытах).

Таким образом, для определения коэффициента диффузии необходимо решить обратную задачу оценки величины D из переопределенной системы уравнений

д c + hl = D --2, 0 < X < h(t), (2.19)

,Э с

и пренебрегая членами порядка h-, получим из (2.19)-(2.22)

Dt0 h02

Э x Э с Э2

1 x2

x=0 Эx

= f *(т) = f {((

t0 = 1,8 • 1 с, т =

x=1 \ dt

h 2 (t)

(2.23)

Таблица 2.1

Значения экснериментально определяемых функций h{t) и f(t)

s с = D

а2 л d с

dX 2

c0 dc

0, где с(X,s) = e sTc(x,T)dT.

Решение этой задачи имеет вид

c0cN D 1 - x)

Используя соотношение (2.23), получим

F * (s)

(2.24)

F * (s )= je-sTf • (т)ёт.

Известно, что коэффициент диффузии растворов ПАВ имеет поря-

док 10-10 -10-8

поэтому мы можем воспользоваться для начального

временного интервала следующей асимптотикой:

D1 2

С учетом этого из (2.24) следует равенство

F * (s)

s 2c0

Переходя в этом равенстве к оригиналам, получим

/lx)

2410*-

Далее, применяя преобразование Лапласа по переменной т, получим