Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

fi (.Г, S1, S2,K, Sn), i = п. (3.10)

При построении таких моделей делаются более или менее правдоподобные рассуждения об основных структурных единицах и схеме «реакций» с их участием (см., например, [5, 6]). Однако практическая ценность подобных теорий весьма мала, поскольку «внутренние» переменные si являются ненаблюдаемыми - в настоящее время еще не разработаны методы экспериментального определения этих величин. Отметим, что в случае одной переменной s модель (3.1) может быть, в принципе, переписана относительно наблюдаемой величины l a (см., например, уравнение 3.4).

Система (3.10) содержит большое число теоретически не определяемых параметров, подбором которых можно объяснить любые экспериментальные данные, поэтому проверка ее адекватности невозможна. Более того, одним и тем же экспериментальным данным могут удовлетворять различные наборы параметров. Все это лишает модели вида (3.10) предсказательной силы.

Приведем анекдот, прекрасно описывающий ситуацию с подобными теориями, в которых параметры «подгоняют» под экспериментальные результаты [7].

Офицер северян во время гражданской войны в США видит на дверях амбаров множество от руки нарисованных мишеней, в середине каждой из которых - след пули, попавшей точно в «яблочко». «Кто это тут упражнялся? Неплохой стрелок», - говорит он. «Да это Билли Джонс баловался с кольтом. Но если честно, то он совсем не умеет стрелять». «Как же

аналогично тому, как зародыши ускоряют зарождение новой фазы. Поскольку увеличение концентрации образовавшихся при сдвиге связей должно привести к увеличению скорости деструкции по сравнению со скоростью структурообразования, константа m в (3.9) должна удовлетворять условию m > 1.

Считая, что состояние неньютоновской среды можно характеризовать всего лишь одной переменной - концентрацией связей - мы тем самым неявно считаем все структурные связи одинаковыми. Это, конечно, не так, поскольку реофизически сложные среды состоят из структурных единиц различного масштаба (молекул, их ассоциатов, макромолекул, кластеров, ассоциатов кластеров и т. д.), образующих некоторую иерархически построенную систему. Реологическое поведение структурных единиц и теснота связи между ними на каждом уровне этой иерархии различны. Поэтому эффективную вязкость среды следует считать функцией многих переменных iia = la(s1,S2,,sn), где Si - концентрация разрушенных связей, существовавших между структурными единицами г-го уровня (i = 1,2,..., п). Соответственно вместо кинетического уравнения (3.1) следует рассмотреть системы вида

. =- X. I dt

Исключив переменную У , получим дифференциальное уравнение второго порядка

x" + X = 0,

имеющее частное решение x = C sin t. Легко проверить, что эта функция является одновременно и решением уравнения

t--.

, 21

Таким образом, дифференциально-разностное уравнение первого порядка с отклоняющимся аргументом в каком-то смысле аппроксимирует систему дифференциальных уравнений.

3.2. К учету явлений запаздывания в теории фильтрации

При решении задач нестационарной фильтрации через пористые среды обычно за основу принимается закон Дарси. Этим самым предполагается, что равновесное состояние между градиентом давления и скоростью достигается мгновенно. На самом же деле оно достигается с некоторым запозданием, которое обусловлено:

а) инерцией скорости и запаздыванием его значения от значения градиента давления;

так?» «Так он сначала стреляет, а уже потом рисует круги вокруг пробоины».

Иными словами, сложность модели (3.10) не соответствует объему доступной теоретической и экспериментальной информации. Приемлемым выходом в этой ситуации может стать использование дифференциально-разностных моделей (т. е. дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом) вида

ddf> = f(f(t).s(t).s(t-n)). (3.11)

Возможность замены системы (3.10) одним уравнением (3.11) физически можно объяснить тем, что цепочка «реакций» разрушения крупных структурных единиц на более мелкие (или восстановления крупных структурных единиц из мелких) приводит к некоторому запаздыванию в процессах структурообразования. Наличие отклоняющегося аргумента в модели (3.11) позволяет в какой-то мере учесть это запаздывание, не выписывая в явном виде кинетические уравнения для всех иерархических уровней.

Для примера рассмотрим систему

д и k

дp+2 д p д x p д x д t

(3.12)

аналогичное реологическому уравнению жидкости Фрелиха и Сакка [9], где у2о и yij, - время релаксации скорости и давления соответственно.

Уравнение (3.12) при ,=0 есть известное обобщение закона Дарси с учетом инерционных членов. Обстоятельный его вывод, опирается на предположение, что вязкие силы трения можно считать объемными. Нам представляется целесообразным писать инерционный член по аналогии, а время Яо определять экспериментально.

При 2,0=0 уравнение (3.12) дает фильтрационный аналог жидкости Максвелла, а Я, есть время релаксации давления. Физический смысл его состоит в том, что если в заданной точке остановить фильтрационное течение, то градиент давления примет нулевое значение не сразу, а постепенно:

~ a exp

(3.13)

. 2P J

При учете явлений запаздывания граничные условия для давления при нестационарной фильтрации следует определять из (3.12). Например, если начать закачку в галерею с переменной скоростью v = at, то градиент давления G на входе найдется из решения задачи

a(t + 2v) = -Jl (g + Ap(G)) G(0) = 0. (3.14)

Время релаксации давления для маловязких чистых жидкостей имеет порядок 10-10 с. Оно зависит от размеров молекул, возрастая при переходе от низших гомологов к высшим. У полимеров, обладающих очень длинными молекулами, время релаксации огромно. Релаксационные процессы перегруппировки цепных молекул под действием внешних сил протекают чрезвычайно медленно, не заканчиваясь иногда в течение многих суток и

б) релаксацией давления и запаздыванием значения градиента давления от значения скорости;

в) сложностью структуры пористой среды и запаздыванием установления равновесного состояния в его микропорах;

г) запаздыванием переупаковки частиц, изменения пористости и проницаемости и т. п.

Выявление эффектов, связанных с явлениями запаздывания, может оказаться полезным для изучения фильтрации неньютоновских нефтей, растворов полимеров, смесей, эмульсий и пр.

Чтобы учесть запаздывание скорости и или давления р, эти величины обычно [8] заменяют на и+ 2.1) и p + Лрр, где точка означает полную

производную по времени. В линейном приближении вместо закона Дарси будем иметь уравнение