|
|
|
|
Главная Переработка нефти и газа Качество решения задач восстановления зависимостей при ограниченном объеме выборки зависит не только от точности аппроксимации исходных данных, но еще и от таких факторов, как гладкость аппроксимирующей функции, ее «сложность» и т. д. Ниже приводится алгоритм обработки данных реологических экспериментов, позволяющий учесть это обстоятельство и использовать априорную информацию для повышения устойчивости результатов в условиях малых выборок. Пусть результаты реологических экспериментов представлены в виде выборки Т2; K; ,Ti, где т - значение касательного напряжения при скорости сдвига j&i (i = 1,2,к, 1), 1 - объем выборки. (Для примера, см. данные вискозиметрического исследования нефти месторождения Кюрсангя, приведенные в табл. 2.3.) Предположим, что зависимость t = t(Y&) описывается реологической моделью вида т = f к,), где f - некоторая заданная функция, содержащая неизвестные параметры a. Таблица 2.3 Данные вискозиметрических исследований
В соответствии с методом структурной минимизации среднего риска зададим множество моделей различной сложности (структуру). Ограничимся рассмотрением следующих четырех уравнений.
Здесь сложность модели определяется числом искомых параметров. Оценки значений реологических параметров a в этих моделях определяются по исходной выборке (Y&i, Т), i = 1,2, 1, путем минимизации функционала эмпирического риска: a = arginf 10(a), 10(a) =1 [Ti - f (i&i,a)]2 Устойчивость решения обратной задачи обеспечивается за счет выбора из четырех представленных соотношений модели оптимальной (в смысле минимума среднего риска) сложности. Для практических расчетов применяется оценка Im (a )= - 10 (a) ln(-) +1]- In Результаты расчетов по изложенной схеме приведены в табл. 2.4, из которой видно, что оптимальной является степенная модель III. Таблица 2.4 Результаты расчетов
(Отметим, что для моделирования ситуации, в которой возможно снятие замеров только в ограниченной области изменения «обучение» модели, т. е. определение параметров a , производится по неполным данным - шести экспериментальным точкам с номерами от второй до седьмой.) Для иллюстрации на рис. 2.6 приведены реологические кривые т = ()&), соответствующие модели III (кривая 1) и II (кривая 2). Как видим, зависимость, восстановленная по методу структурной минимизации среднего риска, удовлетворительно аппроксимирует экспериментальные данные. Отметим, что для повышения устойчивости при обработке данных реологических исследований можно использовать методы регуляризации, рассмотренные в разделе 2.2. По методу А. Н. Тихонова, реологические параметры a определяются из условия минимума функционала фа(a ) =10(a ) + а(a), где W(a) - стабилизирующий функционал, а - параметр регуляризации. 150,00 10-1 Па 120,00 90,00 60,00 30,00 0,00 30,00 60,00 90,00 120,00 150,00 Рис. 2.6. Определение реологической модели по методу структурной минимизации среднего риска Значения параметров a = a % минимизирующие функционал фа, существенно зависят от величины а. При а=0 кривая т = fa) наиболее близка к экспериментальным точкам. Однако это приводит к тому, что все ошибки эксперимента при обработке исходных данных сохраняются. Увеличение а приводит к «сглаживанию» этих ошибок, но ценой того, что отклонение экспериментальных точек от кривой т = f a) становится больше. «Оптимальное» значение а определяется из условия 10 (a(а)) где a - среднеквадратичное отклонение измерений т (предполагается, что оценка величины a известна). В ходе расчетов вначале задается некоторое малое значение а = ,0. Из решения систем уравнений определяются соответствующие значения параметров a 0 . Затем опреде- (а.) ляется невязка которая сравнивается с величиной a . Ес- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [ 38 ] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
 |
