Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 [ 90 ] 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Это значение существует до тех пор, пока величина A1 не становится

больше -. (Легко видеть, что при A1G > 1 уравнение (4.32) не имеет ре-G

шения.) В точке s = s1

r = A1 (s1k1 (s1)) = A1 [г1 (s1)+s1k1 (s1)\=1+

и F < 0, поэтому это состояние всегда неустойчиво (см. рис. 4.23).

Таким образом, при A1 >

1 + G

система (4.21)-(4.23) не имеет устой-

чивых стационарных решений.

Для того чтобы проанализировать особенности процессов фильтрации в области неустойчивости, вновь рассмотрим систему уравнений (4.21)-(4.22), которую можно переписать, используя ранее введенные переменные, в виде

k1(s)

+ s = A

P1( s)

p x=0 = p

d x 0.

(4.33)

(4.34)

(4.35)

Для простоты пренебрегаем в уравнении (4.33) величиной A. Это упрощение позволяет представить нестационарные процессы, описываемые моделью (4.33)-(4.35), в виде эволюции пространственных структур из «доменов», в пределах каждого из которых концентрация микрозародышей и градиент давления постоянны.

Пусть [xi-1, xi \ - интервал, занятый i-м «доменом», si и Vpi - концентрация микрозародышей и градиент давления в этом «домене», 0 = x0 < x1 <... < xm = 1.

Из (4.33) при A = 0 получим цепочку равенств

k1 (s1 )Vp1 = k2 (s2 )Vp2

(4.36)

pi = p

x=x.

(s1)(1 - p1 ) = k2 (s2 )(p1 - p2 ) = km (sm )pm-1,

i (xi-xi-1)

Решив систему (4.36) относительно pi (i = 1, ... , m-1), можно представить Vpi в виде функций величин s1, s2, ... , sm. Подставив эти значения Vpi в (4.34), получим систему уравнений

+ si = A1P1 (si (t - t))Vpi2 (s1(t - t),..., sm (t - t)), i = 1, 2, m,

+ s1 = A[s1k1 (s1 )(1 - р )2 ]т, d + s2 = A[s2k1 (s2 )р 2 ]т,(4.37)

k1(s2 ) +1

т Л-1

A = 4 • A1,

k1(s1)

при следующих значениях параметров: n = 10, G = 0,2, т= 5.

(1) 4

Расчеты показали, что при A < A = 1-g - 3,33... система (4.37)

имеет устойчивую точку равновесия s1 = s2 = 0, которая соответствует ста-

k0 р1

ционарной фильтрации со скоростью фильтрации и =

При A > A(1), как показано выше, однородные по x распределения микрозародышей являются неустойчивыми. До тех пор пока величина A

не достигнет некоторого критического значения A(2)> A(1), система (4.37) имеет две устойчивые точки равновесия s1 = sc, s1 = 0, s2 = 0, s2 = sc. То, какая из этих точек реализируется, зависит от начальных условий: к нулю стремится та величина si, которая в начальный момент времени меньше.

Таким образом, при A(1) < A < A(2) устанавливается стационарный режим фильтрации с неоднородным распределением микрозародышей.

При A > A рождаются два устойчивых предельных цикла, для которых одна из величин si равна нулю, а вторая периодически изменяется. На рис. 4.24 приведен график зависимости скорости фильтрации от времени и = v(t), полученный при A = 3,9.

При A = A(3)> A(2) начинается каскад бифуркаций удвоения периода, заканчивающийся при A ~ 4,3 переходом к хаотическому движению.

Дальнейшее увеличение величины A через последовательность обратных бифуркаций Фейгенбаума приводит к переходу от странного аттрактора к предельному циклу, а затем вновь через последовательность удвоений периода к хаотическому режиму колебаний, после чего притягивающей точкой становится бесконечность: s1, s2 - о. Появление последней цепочки бифуркаций, ведущей к хаосу, связано, видимо, с тем, что

при AG(1 - р)2 > 1 вновь существует только одно стационарное значение s = s0 = 0.

Приведенные выше результаты расчетов позволяют сделать следующие выводы.

которая является дискретным аналогом системы (4.33)-(4.35) в предположении малости времени пьезопроводности.

Для того чтобы выявить особенности поведения системы в области неустойчивости стационарных режимов фильтрации, были проведены численные расчеты при m = 2. Рассматривалась система двух уравнений

При малых перепадах давления скорость выноса микрозародышей газа превосходит скорость их воспроизводства, поэтому концентрация микрозародышей равна нулю. Увеличение перепада давления приводит к тому, что в пористой среде накапливаются микрозародыши, забивающие наиболее узкие места поровых каналов, что приводит к уменьшению расхода. Напомним, что рассматривается область давлений, в которой проницаемость уменьшается с увеличением числа зародышей. При этом состояния с однородным по пространству распределением микрозародышей становятся неустойчивыми, происходит самопроизвольное разбиение на «домены» с различающимися значениями концентрации микрозародышей. Дальнейшее увеличение перепада давления приводит к возникновению автоколебаний, которые, по сценарию М. Фейгенбаума, переходят в динамический хаос.

Теоретические результаты, полученные выше, подтверждаются экспериментами, проведенными к.т.н. Г. Х. Меликовым (Азербайджанская гос. нефтяная академия), который исследовал колебания расхода жидкости Q, возникающие при фильтрации трансформаторного масла с растворенным в нем природным газом в предпереходных условиях. Для примера на рис. 4.25 приведена кривая Q = Q(t), полученная при значениях

давления на входе и выходе модели пласта, равных 7 и 4,5 МПа (давление насыщения Рн = 3,7 МПа). Отметим качественную схожесть этой кривой с расчетной кривой, показанной на рис. 4.24.

0,48

0,32

0,16

Рис. 5.24. Зависимость расхода жидкости от времени при A = 3,9