Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

5.2. Учет априорной информации с помощью Паде-аппроксимаций

При построении приближенных глобальных решений уравнений часто используют метод продолжения функций, локально («в малом») удовлетворяющих этим уравнениям. В великолепной книге И. В. Андрианова и Л. И. Маневича [8] показано, что эффективным инструментом продолжения решений являются Паде-аппроксимации, определение которых, без излишней строгости, можно дать следующим образом.

Пусть

f (x)= Xanxn , x0, (5.8)

и/или

f (x)= Xbkx-k , x . (5.9)

Тогда Паде-аппроксимацией функции f(x) называется дробно-рациональная фунция

p(x )=-, (5.10)

коэффициенты a, которой подбираются таким образом, чтобы члены разложения (5.10) при x 0 и/или x совпадали с членами разложения (5.8) и/или (5.9) (при этом число членов, остающихся в разложениях, определяется общим числом независимых неизвестных коэффициентов a и в).

Опыт показывает, что переход к дробно-рациональным функциям позволяет более адекватно учесть априорную информацию об особенностях и асимптотиках изучаемых зависимостей. Приведем несколько примеров, показывающих, как Паде-аппроксимации позволяют провести эффективные расчеты «на пальцах» и восстановить информацию «из ничего».

Эта зависимость может быть использована для расчета объема газа, потребного для обеспечения заданного дебита нефти. Отсюда может быть получен еще один результат: из вида зависимости Q = Q(Уг) следует, что рабочая точка находится далеко от той области, где функция Q(Уг) имеет

экстремум. Поэтому можно рекомендовать переход к новому рабочему режиму с большим расходом газа (около 800 м3/сут.).

5.2.1. Продолжение асимптотических разложений

Решение уравнения

£x5 + x = 1 (5.11)

можно попытаться искать в виде ряда

x = X an£n . (5.12)

Подставив (5.12) в (5.11) и приравняв члены при одинаковых степенях £, получим

x = 1 -£ + 5£2 - 35£3 + 285£4 -... Коэффициенты этого ряда могут быть выражены явно [8]:

a =(- l)n (5n)!

n n!(4n +1)!

что приводит к следующей оценке радиуса сходимости:

R = 0,08. 55

Таким образом, разложение (5.12) применимо только при очень малых £. Так, при £ = 2 первые два члена ряда (5.12) дают оценку

x -1 -£ + 5£2 = 19, в то время как точное решение (5.11) при этом значении равно x - 0,69.

Тем не менее разложение (5.12) полезно и при больших значениях £ , поскольку оно может быть продолжено с помощью Паде-аппроксимации.

Заметив, что при £ решение (5.11) асимптотически стремится к £~1/5, Паде-аппроксимацию решения можно искать в виде

ei£i +a„,£m+0,2

m j =0

Для простоты в числителе ограничимся первыми двумя степенями £ , а в знаменателе сохраним только член с наибольшей степенью. Тогда получим

1 -£ + 5£2 (513)

x =-5-. (5.13)

1 + 5£ 5,2

Легко видеть, что первые два члена разложения этой функции в окрестности £ = 0 совпадают с членами ряда (5.12). Подставив в (5.13) £ = 2, получим x - 0,79, что является неплохим приближением.

Качество оценок может быть значительно улучшено за счет привлечения большего числа варьируемых параметров.

Следует отметить, что в этом примере мы вышли за рамки первоначального определения Паде-аппроксимации, использовав дробные степени S.

5.2.2. Характеристики многофазных систем

Основные трудности моделирования движения многофазных систем связаны с заданием реологических и теплофизических свойств. В [8] показано, что Паде-аппроксимации эффективны при решении и таких задач. Рассмотрим, например, соотношения, определяющие зависимость вязкости суспензии (жидкости со взвешенными в ней твердыми частицами) от концентрации взвешенных частиц. В 1905 г. А. Эйнштейн в своей работе, посвященной теории флуктуационного (броуновского) движения, получил знаменитую формулу

/и = 1 + 2,5с, (5.14)

где /и - отношение эффективной вязкости суспензии к вязкости жидкости,

c - объемная концентрация твердых частиц.

Позднее, после довольно сложных расчетов, было получено следующее приближение [9]:

и= 1 + 2,5с + 5с2. (5.15)

Но даже без обращения к экспериментальным данным, на основе априорных соображений, можно заключить, что как зависимость (5.14), так и зависимость (5.15) верны только для очень малых значений c.

Физическая интуиция подсказывает, что функция (с) должна иметь особенность внутри интервала [0,1], связную с тем, что даже при не очень больших значениях c частицы оказываются упакованными настолько плотно, что суспензия практически перестает течь: /и . Ясно, что зависимости (5.14), (5.15) не отражают это обстоятельство.

В этой ситуации логично обратиться к Паде-аппроксимации, поскольку дробно-рациональные функции допускают разрывы.

Применение Паде-преобразования к формуле Эйнштейна заключается в аппроксимации вязкости функцией

Коэффициент в находится из условия ju~ 1 -вс = 1 + 2,5с при с 0. Отсюда в = -2,5 и

и = -1-. (5.16)

1 - 2,5с

Более точная аппроксимация

и= 1f-f (5.17)

1 - 2с

получается Паде-преобразованием формулы (5.15).