Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [ 29 ] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Оптимизация «маршрута» поиска может быть осуществлена с помощью исследования чувствительности решений прямых задач относительно варьирования значений коэффициентов моделей [11, 12].

Используя аппарат теории чувствительности, коэффициенты в можно искать при помощи итерационной процедуры

в(+l)=в(s )+Aв(s), (2.10)

где смешения Aв(s) определяются из условия минимизации функционала

i=1ai

h Xi ,в

д u д u

дв1 дв2 двm

(s))

Матрица чувствительности ,в j определяет «отклик» решения прямой задачи на малые изменения значений коэффициентов в .

Пример.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

k=1 dtk

с начальными условиями

u(k)(0) = ak, k = 0,1,..., m -1. Необходимо оценить параметры вj (j = 0,1,m) по замерам

У1 = u (ti ) + ei, i = 1,2,..., n. Легко увидеть, что функции чувствительности

д u(t,в)

hj (t,в):

могут быть найдены из решения задачи

hj = 0, j = 1,2,K, m,

Оценки коэффициентов в определяются по алгоритму (2.10), где величины Aв(s) находятся путем решения уравнений

JTAH Aвjs ) = Bjs) i = 0

j = 0, 1, m,

:(s) = [vi -u(ti,e(s)(ti,e(s) i=1

2.1.2. Оценивание параметров с помощью замены дифференциального уравнения конечно-разностным

Мы предполагали до сих пор, что прямая начально-краевая задача (2.1)-(2.2) может быть решена точно. Однако это возможно далеко не всегда. В тех случаях когда точное решение задачи (2.1)-(2.2) не удается получить, для определения параметров может быть произведена замена операторов Le и 1в их конечно-разностными аналогами.

Рассмотрим, например, задачу оценки коэффициента температуропроводности а для уравнения теплопроводности:

Э u (x, t) Э 2u (x, t)

--= a-2-

Э t Э x2

(0 < x < l, t > 0).

Переходя к дискретной координате с шагом Ax и к дискретному времени с шагом At, получим уравнение [13]

uk,s -uk,s-1 =e(uk+1,s - 2uk,s + uk-1,s),

где в = ~

At (Ax)2

a - a

(2.11)

методическая ошибка замены дифференци-

ального уравнения конечно-разностным.

Требуется оценить в по системе наблюдений yk,s = uk,s +£k,s:

uk,s = u(xk,ts), xk = k Ax k = 0,1,...,

Ax J

ts = s •At (s = 0,1,...),

E[£k, s] = 0, т. е. E[ yk, s] = uk, s,

E[£k,s s] = kkss2.

Для решения задачи перепишем (2.11) в виде

uk,s = uk,s-1 +e(uk+1,s - 2uk,s + uk-1,s). (2.12)

Заменим теперь в правой части (2.12) все u на результаты их наблюдений. Получим в итоге некоторую оценку для uk, s :

uk,s = yk,s-1 +в(yk+1,s - 2yk,s + yk-1,s ).

В качестве оценки параметра в можно принять величину

Л -1

в*= Arginf F* (в), F* (в) = E

S(uk,s- yk,s) ,

и использовать для ее оп-

ределения метод стохастической аппроксимации (2.1.1).

Рассмотрим случай, когда разности у, - у,±1 измеряются в малом числе точек Xk . В этих условиях необходимая точность оценок обеспечивается достаточно большим числом измерений по времени (s ).

Исходя из (2.9), получим следующий алгоритм определения оценок в(s) в момент sAt:

в =в -р( s){VвF(s)(в)

в=в(s-1) ,

- добавка, обеспечи-

где VвF(s)(в) = Vв\2X(uk,s-yks)2 [ + f(s), f(s)

вающая несмещенность оценок в .

Так, если конечные разности измеряются в одной точке, можно положить [13]

VвF(s )(в) = 2 Vв< Легко проверить, что

uk,s-yk,s] [ + 2а2(1 + 3в).

E[{{вF(s)(в)}в=в(s-1) ] = 0 при в(s-1) =вп,

так что добавка 2а2 (1 + 3в) действительно обеспечивает несмещенность оценки в .

2.1.3. Некорректность операции дифференцирования экспериментальных функций

В предыдущем разделе были рассмотрены алгоритмы решения обратных задач, основанные на конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Этот подход следует применять с большой осторожностью, поскольку конечно-разностная аппроксимация эквивалентна непосредственному дифференцированию экспериментальных функций, чреватому большими погрешностями [4-6].

Проиллюстрируем это обстоятельство следующим простым примером.

Пусть дано уравнение

du dt

+ в(u -1) = 0.

(2.13)