Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 [ 94 ] 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

и оценить веса остальных камней в выборке объемом n = 1000 по формуле

x(r) = a + (b - a)-, r = 1,2,..., n, i Ф

n +1

Еще одним примером безэталонных измерений по рассматриваемой схеме являются дети в школе, устроившие соревнование «Кто выше?»; если несколько ребят знают свой точный рост, то это позволит оценить рост всех остальных детей.

При реализации описанной выше процедуры частичного «взвешивания» важным является следующий вопрос: где должны быть расположены элементы упорядоченной выборки, предназначенные для прямого измерения?

Как следует из (5.1) и рис. 5.1, в случае равномерного распределения наименьшей дисперсией обладают крайние статистики, поэтому в (5.5) можно было бы положить r1 = 1, r2 = n . Однако крайние точки часто оказываются выбросами, поэтому этот рецепт нужно применять с известной осторожностью. В каждом конкретном случае необходимо тщательно анализировать представительность крайних значений. В некоторых случаях, возможно, окажется необходимым взять не крайнее, а второе слева или справа значение. Основная идея сохраняется всегда: для равномерного распределения более ценными являются крайние замеры.

Наоборот, в случае нормального распределения больший вес имеют центральные статистики. Так, при оценке математического ожидания одно центральное наблюдение значит больше, чем половина выборки [1]. Однако если для определения параметров E и а берутся замеры из самого центра упорядоченной выборки, то расстояние между замерами может оказаться слишком малым, что приводит к плохой обусловленности системы (5.4). Это и понятно, поскольку надежные оценки дисперсии невозможно получить по центральным замерам - нужно захватить «крылья» гауссовского «колокола».

Таким образом, выбор статистик, по замерам которых планируется оценить параметры распределения, является неформальной задачей. Но приведенных выше соображений вполне достаточно для организации практических вычислений.

Пример 1. Безэталонное измерение расхода газа в газлифтной скважине

При эксплуатации газлифтных скважин стремятся поддерживать некоторый оптимальный режим работы, однако значения расхода газа Уг и

дебита нефти Q испытывают случайные колебания вокруг своих средних

значений. Такого рода колебания в ходе нормальной эксплуатации («шумы») совершенно естественны, и их измерения могут служить источником

ценной информации. Однако осуществление полноценных замеров иногда может быть связано с затруднениями.

Предположим, что у нас имеется возможность беспрепятственно измерять дебит нефти в динамике, но имеются всего лишь несколько прямых замеров расхода газа. В этой ситуации остальные значения Уг можно оценить методами порядковых статистик по замерам дебита нефти. Эта возможность связана с тем, что в окрестности оптимального режима работы функция Q = Q(y) монотонно возрастает, т. е. дебит нефти может послужить компаратором для ранжирования неизвестных значений расхода газа. Известен и закон распределения случайных колебаний Уг - он нормальный.

Приведем модельный пример, иллюстрирующий практическую реализацию этой идеи. В табл. 5.1 приведены замеры расхода газа и соответствующих дебитов нефти, полученные в ходе эксплуатации одной из скважин месторождения Грязевая Сопка [5]. Исходная выборка отранжирована по значениям дебита нефти Q .

Забудем на время о том, что значения Уг нам известны. Проверим,

можно ли восстановить эти значения, имея только два замера: Уг = 550 м3/сут. и Уг = 690 м3/сут., полученные при Q = 5,6 т/сут.

и Q = 8,5 т/сут. соответственно?

В этом примере объем выборки n = 20. Для вычисления нормализованных математических ожиданий Er порядковых статистик воспользуемся приближенной формулой (5.2).

Таблица 5.1

Результаты расчетов по оценке значений расхода газа

Обращение нормальной функции распределения с E = 0 и а = 1 производится с помощью таблиц математической статистики (см., например, [6]). Полученные в результате расчетов значения Er приведены в пятом столбце табл. 5.1 (крайние статистики отброшены как непредставительные). Математическое ожидание E и среднеквадратичное отклонение а расхода газа определяется из системы вида (5.4):

E - 0,80а = 550, E + 0,63а = 690, откуда

Е = 628 м3/сут., а = 98 м3/сут. В последнем столбце табл. 5.1 приведены восстановленные значения расхода газа, найденные по формуле

У,р = 628 + 98 i~r.

Сравнение действительных и расчетных значений расхода газа (см. рис. 5.2) показывает удовлетворительное соответствие оценок реальным замерам (ошибка не более 3%).

Пример 2. Точные измерения грубыми приборами

Итак, при безэталонном взвешивании камней из кучи щебня требуется определить веса хотя бы двух из них. Даже для этих двух замеров, если мы хотим обеспечить необходимую точность, нужен целый набор гирь разного веса: от килограммовых до граммовых. А что если у нас всего две гири, например, весом 5 кг и 0,5 кг? Порядковые статистики могут помочь и в этом случае. И не нужно пытаться найти камни, веса которых совпадут с весами имеющихся гирь: вероятность найти такие камни крайне мала. Нужно просто добавить гири в кучу камней, чтобы они тоже приняли участие в ранжировании. После упорядочивания они сами и сыграют роль двух опорных «камней». Если число камней в выборке достаточно велико, то точность измерений будет сколь угодно большой.