Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [ 40 ] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

(u)=10:

Вид функции принадлежности определяется представлениями экспертов, которые устанавливают те элементы u е U , для которых JLia (u ) = 1 или 0 (т. е. те области, для которых возможна четкая классификация), а затем задают тот или иной закон изменения функции llia от 0 до 1 в интервале нечеткой классификации. Например, нечеткое множество А = = «малое число» можно задать функцией принадлежности

LUA (u ) = p(u; u1; u 2; m);

1, u < u1

(p(u; u1; u 2; m) =

1 u - u1

u1 < u < u2, (2.53)

u2 -u1

0, u > u2

где u1, u2 - числа, которые признаются (в данной ситуации) безусловно малым и безусловно большим соответственно.

В этом выражении показатель степени т характеризует степень падения уверенности в малости числа u при его отклонении от u1 и назначается экспертом. Так, если речь идет о числах, малых по сравнению с единицей, можно задать u1=0, u2=1, m=4. Тогда La (0,5)- 0,06, la (0,1)- 0,66, что достаточно хорошо согласуется с интуитивным представлением о степени малости чисел 0,5 и 0,1 по сравнению с единицей.

Над нечеткими множествами производятся операции, соответствующие комбинациям нечетких терминов и целей. Рассмотрим некоторые из них.

а) Пересечением нечетких множеств A1, A2, Ал называется нечеткое множество С, соответствующее логической связке «и». Оно обозначается

C = I Ak, к=1,...,л,

2.4.1. Нечеткие множества

Нечеткие множества - это объекты, о принадлежности к которым можно судить только с некоторой долей уверенности. Они введены Л. Заде для формализации качественного, словесного описания объектов и преследуемых целей [21].

Нечетким множеством в называется совокупность пар вида (u,a (u)), где u eU , а (u) - функция u a [0;1], называемая функцией принадлежности нечеткого множества А. Близость функции (u) к 1 является количественной мерой уверенности в том, что элемент u принадлежит множеству А. Если возможна четкая, однозначная классификация элемента u по принадлежности к А, то функция принадлежности вырождается в характеристическую функцию

1, u е A,

He (u ) = - i=1 i

Vi=1 i ,

Hc(u)=>1, =i;ji1uAi(u).

Рассмотренные нами операции над нечеткими множествами облегчают формализацию многокритериальных задач. Так, решение задачи минимизации критериев 11, 12, ... , 1п может быть сведено к максимизации функции принадлежности

lU = (Ju1(11), H2 (12 ),..., Нп (1п йп ,

где Hi (1i) - функция принадлежности нечеткого множества «малые 1i», i = 1, 2, п.

2.4.2. Нечеткие ностановки некорректных задач

Рассмотрим задачу минимизации по аргументу функционала 1£(x),

неустойчивую относительно малых погрешностей £. Предположим, что для обеспечения устойчивости ее решения привлекаются некоторые дополнительные сведения априорного характера, формализованные в виде требования минимальности функционалов 11(x), 12(x),..., 1n(x). Таким образом, поиск устойчивого решения некорректной задачи сводится к решению многокритериальной задачи минимизации п+1 функционалов 1£, 11, 12,..., 1n.

и определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности

(u) = min (u), (u),Ца. (u)). (2.54)

Использование операции пересечения в форме (3.54) часто приводит (как и все максиминные критерии) к слишком пессимистическим алгоритмам принятия решения. Поэтому часто оказывается целесообразным принятие более «гибкого» определения:

б) Объединение нечетких множеств A1, A2, Ап соответствует логической связке «или» и обозначается C = UАу., к = 1,п. Его функция

принадлежности может быть определена как

(u) = max(ца1 (u), ца2 (u),цап (u)),

Используя подходы теории нечетких множеств, эту задачу можно свести к определению элементов x еВ, доставляющих максимум функции принадлежности

M = (M£(i£), М1 (i 1), М2(i2 ),Мл (Iл йл+1 ,

где M£(l£) - функция принадлежности к нечеткому множеству «малые I).

Пример.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида

Ax = b, xе Ял, b е Rm, (2.55)

где А - ненулевая действительная матрица размера т х л, b Ф 0.

Предположим, что вместо точного значения вектора b задано его приближение такое, что b-b£ <£. Приближенное решение (2.55) определяется как такой вектор x* е , для которого

I£(x*)= inf \l£(x): xе R" ; где I£(x)= Ax - b£ . Как известно, в случае плохо обусловленных систем это решение неустойчиво относительно малых возмущений £. Регуляризация задачи может быть достигнута за счет привлечения некоторой априорной информации. Пусть, например, известно, что искомые решения не должны быть

x* )= x* .

Тогда устойчивое решение будет соответствовать максимуму функции принадлежности

)=(M£(I £(x))М1 (11(x))),

где M£(l£)=(l£;0; l£; m1); М1 (I1 )=(l1;0; I*; m2), функция задается выражением (2.55), l£ и I* - значения функционалов I£ и I1, признаваемые

большими. Эти величины, а также показатели степени и задаются эксперт-но, исходя из существа рассматриваемых задач.

Отметим, что в рамках традиционного подхода [5] устойчивое решение (2.53) следовало бы искать путем минимизации модифицированного сглаживающего функционала

£

Ax - bA + a x

Сравнивая два рассмотренных выше подхода к решению некорректно поставленных задач, можно заметить, что при использовании теории нечетких множеств субъективный момент проявляется при выборе вида функций принадлежности M£(I£) и Mi(Ii). Подчеркнем, что нечеткий подход обеспечивает большую гибкость и учет большего числа «нюансов» при формализации априорной информации, поскольку возможности варьиро-