Главная Переработка нефти и газа Для определения асимптотики этого интеграла на больших временах сделаем замену переменной z = exp(- xm) и по методу Лапласа получим \-l / m (3.18) T(x ) - гамма-функция. Если же времена релаксации задаются законом (3.17), то, как легко показать, верна асимптотика Ф(t) ~ exp
(3.19) Таким образом, масштабная инвариантность процессов релаксации существенно упрощает их описание и позволяет использовать достаточно простые универсальные функции релаксации вида (3.18) и (3.19). Отметим, что функция релаксации вида (3.18) с показателем степени, равным -1/2, может быть получена в рамках молекулярной теории вязко-упругости Рауса и Бикки [18]. Однако эта теория не в состоянии объяснить часто наблюдаемое на практике отклонение значения показателя степени от указанной величины и, тем более, происхождение функций релаксации вида (3.19). Масштабная инвариантность распределения релаксационных параметров может послужить для объяснения принципа температурно-времен-ной суперпозиции [18], который выражается связью 0(k (T )t) = k1(r )Ф o(t), (3.20) где Ф(-) и Ф0 (t) - функции релаксации при температурах T и Tq, Tq - некоторая характеристическая температура, k , k1 - коэффициенты, зависящие от температуры (k (Tq ) = k1 (Tq ) = 1). Действительно, если считать, что скейлинговые показатели l, m не зависят от температуры, то из (3.18) получим (3.20) при k (T )=io(Ti k1(T)=IS- В качестве примера нами была рассмотрена кривая релаксации напряжения в образце монодисперсного полистирола, приведенная в [18]. Расчеты показали, что эта кривая релаксации напряжения вполне удовле- творительно описывается законом (3.19) при v +1 0,50. 3.3.2. Реологические модели в дробных производных Рассмотрим теперь вязкоупругое тело, представляемое множеством последовательно соединенных тел Кельвина-Фойхта. Тогда связь между скоростью ем [15, 16] напряжением определяется соотношени- деформации М 0 -exp (3.21) где y(t) - величина сдвига, м - вязкости элементов, Я - времена релакса- ции, D Как и выше, предположим наличие масштабной инвариантности распределения релаксационных параметров: Мп = М0 exp(l п), Яп =Я0 exp(n m). Тогда (см. 3.18) y/(t)- Lt L = Г(£1) и (3.21) можно переписать в виде (3.22) получим DY(t ) = M~T(t ) + aD ~£DT(t); (3.23) £= 1 - £1, £1 = l Im, a= L Г (£); D-£f (t )Г£-f\ (t -#)£-1 f ()d4 Г £ 0 (D ~£ f (t) - дробная производная порядка -£). Принимая Gn = G0 exp(-l n) и учитывая, что Яп =M0G)-1 exp(l +l )n ), откуда 0 < e1 < 1, 0 < s < 1. Таким образом, наличие временной масштабной инвариантности приводит к необходимости использования реологических моделей в дробных производных. Отметим, что подобные модели вводились (исходя из других соображений) и ранее (см., например, [16, 17, 24]). Полученный нами результат имеет также связи с работами [23, 25], в которых показано, что временная самоподобность процессов приводит к уравнениям в дробных производных. Подчеркнем, что реологический закон с дробными производными получен нами для модели, включающей всего лишь различные пружины и вязкие элементы, в отличие от работы [17], в которой постулируется существование самостоятельного типа деформации - высокоэластичной деформации, которая не может быть сведена к сумме упругости и вязкого трения. где y/(t) = pm -exp i=1Р1Я1 ределяемая соотношением Pm - мгновенная сжимаемость среды, оп- 3.3.3. Процессы релаксации при объемной деформации Рассмотрим теперь процессы релаксации при объемной деформации. В ряде экспериментов [26, 27] было замечено, что если сосуд заполнить структурированной жидкостью (например, нефтью с асфальтено-смолис-тыми примесями), а затем создать в сосуде избыточное давление и герметически закрыть его, то давление в сосуде медленно падает до некоторого стационарного значения. Релаксационные процессы такого рода связаны с перегруппировкой макромолекул и кластеров, образованных ими. При быстром сжатии такая система претерпевает мгновенную упругую деформацию, величина которой определяется коэффициентом объемной упругости среды в начальном состоянии. Затем происходит медленная перегруппировка структурных единиц различной сложности, что за счет уплотнения среды приводит к некоторому уменьшению ее объема и, как следствие, к некоторому уменьшению давления. Процесс релаксации давления можно описать обобщенной моделью Максвелла, если изменение давления dp считать аналогичным напряжению т, относительное изменение плотности ---аналогом деформации у (Ро - начальная плотность среды) и положить Gi = - (i = 0, 1, 2, ...), где во - равновесная (при t ) сжимаемость среды, Pi - мгновенная сжимаемость вязкоупругих структурных единиц. Записав баланс сил для модели обобщенного тела Максвелла, получим т = Go7 + Z Pii&i, i=1 (3.24) где у I - смещение i -го вязкого элемента, Я = - время релаксации i -го звена. Переходя к величинам dp и dp, из (3.24) легко получить PoPmdp (()=dp(() - - i;)dp ()d, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 |
||||||||||||||