Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 [ 89 ] 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

давления Ур

ip(4)

. Такие структуры рассматривались ранее в рабо-

тах [14, 15]. Граничные условия (4.23) выполняются, если

Z li

где li - суммарная протяженность «доменов» со значениями s = si.

Поскольку нашей целью не является рассмотрение всех возможных случаев, конкретизируем вид функции k(s), приняв

k(s) = k0exp(-ysn)+ G , где у, n, G, k0 - положительные константы. Предполагается, что фильтрация происходит в области давлений, характеризующихся уменьшением проницаемости при понижении давления (раздел 4.2). Легко видеть, что при этом уравнение (4.24) может иметь только одно решение, которое мы будем обозначать через s1.

Проведем линейный анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации с однородным по x распределением микрозародышей. Пусть

р0 (x) - малые отклонения от стационарных значений Переходя к безразмерным переменным, получим

s = s - si, р= р (i = 0 или 1). из (4.21)-(4.23)

Адр = k,(s, - k1(si )д ss

д x x

дs + s = A-l(f- ()s - (si >д р

x -.

р t -

x=0 t

(4.25)

(4.26) (4.27)

t* a

s* = Y

-1/ n

k1(s ) = exp(- )+ G, f1(s )= sk1(s),

2 , A = 1

amjl k0t*

где A - безразмерное время пьезопроводности. Разложив функции s и р в ряды Фурье

р = X Xj (t )sin(Ujx), s = Y0(t) + X Yj (t )cos(Ujx), j=1 j=1

где Mj = j-п, получим из (4.25) и (4.26)

d + F0(t) = rF0(t - т), (4.28)

ЯГ- + Zj (t) = k1 (st )Yj (t), (4.29)

+ Yj (t) = rYj (t - t) - A1siZj (t - t), (4.30)

Zj =Mjk1 (si )Xj, r = A1p1(si), Aj =-2, j = 1, 2, ...

Характеристическое уравнение, полученное из (4.28) подстановкой Y0 ~ ext, имеет вид

Х +1 - r exp(-хт) = 0. Анализ этого уравнения показывает, что точка равновесия Y0 = 0 устойчива, если r < 1, апериодически неустойчива при r > 1 и колебательно-неустойчива при r < - 1 и достаточно больших т [12]. Характеристическое уравнение, соответствующее системе (4.29)-(4.30), записывается в виде

AjX2 + (Aj + 1)х +1 - e-хт [г AjZ +1)- F \ = 0, (4.31)

F = 2 A1k1si.

Для его исследования воспользуемся методом D-разбиений [12], который заключается в выделении на плоскости параметров областей с различным порядком устойчивости. Области, в которых характеристическое уравнение имеет k корней с положительной действительной частью, обозначаются символом D(k ). Поскольку границы этих областей соответствуют переходу корней через мнимую ось, то в параметрическом виде они могут быть определены, если в (4.31) положить х = i - . При этом получается система

r (cos т + Aj sin т)- F cos т = 1 - Aj2,

r (Ajcos сот - sin ют)+ F sin тт = (Aj +

определитель которой А = AjC равен нулю при с = 0. Этому значению О)

соответствует особая прямая r = F +1. При соФ 0 границы D-областей задаются уравнениями

F = (1 + A2jo)(o;cos ОТ + sin от) А-1,

r = A2jo)sin а>т + (Aj +1)0cos сот А-1, lim F = F0 = т +1, lim r = F0 +1.

Для примера на рис. 4.23 показано D-разбиение, полученное при т = 5 для значения A = 2. Здесь прямые 1 и 2 представляют собой гра-

фики функций r = 1 + F и r = 1 +- соответственно. При нахождении об-

ласти устойчивости D(0) использовано то обстоятельство, что точка F = 0, r = 0 принадлежит ей, поскольку при этих значениях F и r оба корня уравнения (4.31) отрицательны.

-20 -16

Рис. 4.23. D-разбиение на нлоскости F - r (т= 5, A = 2):

1 - прямая r = 1 + F ;

2 - прямая r = 1 + -

Как видим, при малых перепадах давления система (4.22)-(4.23) имеет единственное устойчивое стационарное решение, соответствующее значению s = 0. Увеличение перепада давления приводит к потере устойчивости этого решения. Поскольку при s = 0 F = 0, то это происходит при r = A(1 + G). Одновременно появляется еще одно стационарное значение s = s1 , определяемое из уравнения

A1[exp(- s1n)+ G ] = 1.

(4.32)