Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [ 69 ] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

T2 yD - j 4li Ti

Пусть осуществляется режим с AP = const. Тогда вместо (3.67) получается

2PPo L

1 + Zi (t) i=1

(3.68)

где (Pi (t) = (Pi (t)

4li Ti

J L

при ti

функция,

4li T-

J K2VDi

имеющая один максимум

к2 VD • T

или один

минимум

Поскольку все ti различны, как сле-

дует из (3.68), расход Q(() при большом n будет представляться в виде

суммы случайных колебаний и постоянной величины. При этом в случае достаточно большого времени наблюдения, когда P[ (t) - 0, будет иметь место стабилизация расхода.

Проведенные расчеты показывают, что при фильтрации газа в сорбируемых средах использование обычных методик определения законов фильтрации по исследованиям зависимостей Q = Q(Ap) требует учета существенной нестационарности процесса. Необходимо проводить исследования в течение весьма длительного времени. Более того, характерное время переходного процесса в пористой среде, как это отмечалось выше, может быть соизмеримо со временем разработки газовой залежи. В этих условиях само понятие закона фильтрации газа как стационарной зависимости между вектором скорости фильтрации и градиентом давления теряет смысл. Поэтому фильтрационные характеристики необходимо определять одновременно с сорбционными.

3.7. Метод построения оценок решения уравнений фильтрации газированной жидкости

Точные решения нелинейных уравнений стационарной фильтрации газированной жидкости найдены в [44-46]. В [47] при некоторых допуще-

k (x, t )

. (3.69)

Пусть функция u(x,t )является решением первой краевой задачи для уравнения (3.69) в области D. Предположим, что выполняются условия

-k <0, -k >0, -u>0, -u<0. (3.70)

- x -1 - x -1

По теореме сравнения с учетом (3.70) получаем, что функция u(x, t) ограничена снизу функцией u1( x, t), которая совпадает с u(x, t) на границе Г области D и удовлетворяет уравнению

k1-rr1 , x; 1) < k1.

-x2 -1 1

Для построения верхней оценки функции u(x, t) введем

y 0 k (x, 1).

При этом уравнение (3.69) перейдет в

- u u u Xr 1 - k,

- y2 - 1 - y 0 k2 - 1

а область D преобразуется в область D*{0< y < y(t); 1 > 0 } с границей Г,

К dx где y (1) = --г.

0 k (x, 1)

ниях система уравнений газированной жидкости сведена к уравнению теплопроводности. Приближенный метод расчета неустановившегося течения газированной жидкости дан в [48], где истинная картина течения заменена расчетной схемой последовательной смены стационарных состояний. Эта же задача решена методом осреднения в [49].

В данном разделе при определенных условиях, наложенных на искомые функции, строятся оценки решений уравнений нестационарной фильтрации газированной жидкости в одномерном пласте. Полученные оценки могут быть использованы как приближенные решения с известной погрешностью или для проверки точности различных приближенных методов.

Отметим, что применению теорем сравнения к оценке решений уравнений нелинейной фильтрации посвящены работы [50-52]. Методы построения оценок решения различных задач теплопроводности даны в [53, 54].

1. Получим сначала вспомогательные соотношения. Пусть в области D {0 < х < l; t > 0} с границей Г задано уравнение

Рассмотрим функцию U2 (х, t), являющуюся решением задачи

д 2u2

д u2

д У2 д t

U2(о,() = u(0,t), U2(У,0) = u(y,0), U2(У2, () = u(l, t)

в области D2{о < У < У2; t >о }, где k1 У2 = l, k1 > k(х, t).

Отсюда, в силу условия дu > 0, получаем u2(у2, t) > u(y2, t).

Отсюда с учетом (3.70) по теореме сравнения получаем, что в области D2{о < У < У2; t > 0} имеет место соотношение u2(у, t) > u(у, t).

Подчеркнем, что построение верхней и нижней оценок решения уравнения (3.69) не зависело от свойств функции k (х, t), требовалось лишь

знание границ изменения коэффициентов и выполнение условий (3.70).

2. Для одномерного случая уравнения нестационарной фильтрации газированной жидкости граничные и начальные условия имеют вид [46]

PF (а)

(аРа+Р),

kn (а)

(3.71) (3.72)

д t д х

Р(0, t ) = Pc, P(l, t ) = Pk > Pc, а(l, t ) = а1, Р(х,0) = Pk, а(х,0) = а1.

m - пористость, k - абсолютная вязкость газа и нефти (принимаются постоянны-

Здесь a1 = m p1k 1, a2 = mp2k 1

проницаемость, 2

ми), a = с s~1 -1 c = P1P~1 (газ считается идеальным), s - коэффициент растворимости газа в нефти (принимается постоянным), P2 - плотность

газа при давлении Р, F(а) = k1 (а)+ sp1 (cp2)-1 k2(а); k1(а k2(а - фазовые проницаемости, соответственно, для газа и нефти, а - насыщенность по-рового пространства нефтью, Pc - давление на галерее скважин, Pk - давление на контуре питания, а1 - начальное значение нефтенасыщенности.

Учитывая условия (3.72), сделаем физически очевидные предположения о монотонном поведении искомых функций

< о,

>0,

<0,

следует из

(3.73) (3.72), (3.73),

д( дх д(

Обозначим а(0, ) = а2. Тогда, как

при 0< х < l , t > 0 имеем

а2 <а<а1. (3.74)

Оценим неизвестную величину а2. Для этого найдем стационарное решение системы (3.71).