Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

33102 33102

ваюсь от этой страшной чумы: функций, не имеющих производных» [10]. Оказалось, однако, что эти функции связаны с фракталами - объектами, которые, как уже отмечалось, широко распространены в природе и естественным образом происходят из очень конкретных задач.

Весьма важным примером фрактальной кривой является траектория броуновской частицы. Ее фрактальность проявляется в том, что, увеличивая разрешение микроскопа и уменьшая время между фиксациями местоположениями броуновской частицы, мы вновь получим подобные друг другу блуждания. График зависимости координаты броуновской частицы от времени (винеровский процесс) является самоаффинной кривой и также нигде не дифференцируется.

Отметим, что в формальной логике также имеются аналоги математических «монстров» типа кривой Коха - это известные с древних времен логические парадоксы, например внутренне противоречивое высказывание «Я лгу». Ведь если содержание этого суждения истинно, то его автор лжет, но тогда и само высказывание лживо, что приводит к противоречию.

В работе [11] показано, что общей основой парадоксальных фигур (фракталов) и высказываний являются бесконечные итерации некоторых алгоритмов обработки. Так, генератор кривой Коха можно представить как машину с обратной связью, процессорный блок (блок обработки) которой производит деление отрезков на три равные части, отбрасывание средней части и построение на ее месте «крышки» (см. рис. 1.2). Результат обработки «затравки» - единичного отрезка - по схеме обратной связи передается на вход процессорного блока для получения нового «поколения» кривых - и так до бесконечности.

В случае суждения «Я лгу» блок обработки меняет значение логической переменной на противоположное («true» на «false» и наоборот). Если «затравкой» является предположение о том, что высказывание «Я лгу» истинно, то после обработки оно будет признано ложью и по схеме обратной связи будет отправлено на вход процессора, что порождает бесконечную цепочку значений логической переменной TFTFTF... (T ="true",

F =" false"). Таким образом, парадоксы являются логическими фракталами, которые должны стать предметом рассмотрения новой фрактальной логики [11].

Фракталы оказываются тесно связанными и с цепными дробями, при построении которых также многократно повторяется одна и та же опе-

103993

рация. Возьмем, например, дробь -. Наибольшее число, не превос-

33102

ходящее эту дробь, - это число 3:

103993 3 + 4687

«

Перевернем» остаток:

103993 3+ 1

33102 33102 • 4687

Проделаем такие же операции с дробью 33102 и т. д. В результате

4687

получим цепную дробь

103993 3+ 1

33102 7 + 1

1 + 1

Если число иррациональное, то соответствующая ей цепная дробь будет бесконечной.

103993

Между прочим, дробь 33102 является одном из рациональных приближений числа к, а полученная из нее конечная цепная дробь представляет собой «начало» бесконечного разложения к :

к = 3 +

7 + 1

15 +-1

292 +

1 + 1

2 +...

Итак, любое число а может быть представлено в виде

а = a 0 +-1-,

a1 +-

a 2 +--где ... - целые положительные числа. При использовании таких дробей в практических вычислениях важным является вопрос о том, насколько большими могут быть коэффициенты разложения an (n = 0, 1,

2, ...)? Ведь если число an достаточно велико, то, оборвав цепную дробь на

n -1 шаге, мы получим хорошее приближение.

Р. О. Кузьмин доказал (см. брошюру В. И. Арнольда «Цепные дроби», 2001), что вероятность появления числа k среди коэффициентов разложения ... случайно взятого числа а в цепную дробь равна

Если к > 1, то

к (к + 2)

к 2ln2

т. е. распределение вероятностей является асимптотически гиперболическим. В дальнейшем гиперболические распределения (по выражению Б. Мандельброта, «ближайшие родственники фракталов») еще не раз встретятся в этой книге (см., например, разделы 1.3.2 и 5.4).

Согласно теореме Кузьмина наиболее часто встречается единица -чуть меньше половины случаев (Р1 = 0,42). Если все числа a0, a1, a2, ... положить равными в точности единице, то получим число

x = 1 +

которое, очевидно, удовлетворяет уравнению

1 + i = x

или x

x +1 = 0,

откуда x

1+45

-1,618...

Это число, известное с древних времен, называется «золотым сечением» (aurea section) и лежит в основе всех природных гармоний. Не случайно композиционная структура картин-шедевров мирового искусства определяется именно золотым сечением. Обращаясь к более прозаичному предмету, отметим, что почтовые открытки делают в форме прямоугольника, отношение сторон которого равно «золотому числу». Если от такого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник будет подобен исходному. Если снова отрезать квадратик, снова получим прямоугольник, подобный исходному, и т. д. (опять бесконечные итерации!).

Кстати, золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи, т. е. с бесконечной последовательностью чисел, два первых члена которой равны 1, а следующие вычисляются как сумма двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... .