Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [ 48 ] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

сывает динамику численности народонаселения Земли. При

dt (T1 - t)2 +т 2

(2.74)

(2.75)

При t = T1 -= Q0, поэтому постоянная Q0 имеет смысл макси-

мального значения годового отбора нефти. Решение (2.74) имеет вид

V = C3 + Q0T arctg

где C3 - постоянная интегрирования.

Считая, что V ~ 0 при T1-t >> 1, можно положить C3 = Q0T-. При

этом

V = Q0T arcctg z, (2.76)

T1 -1 где z = --.

Согласно (2.75) и (2.76) в момент t = T1 происходит «перестройка» системы: гиперболический рост накопленной добычи сменяется ростом с насыщением (см. рис. 2.11, где приведена безразмерная накопленная до-V

быча нефти -, = -QoT).

В математической физике решения вида (2.70) известны как режимы с обострением и подробно изучены в исследованиях динамики и взрывного поведения нелинейных систем [39]. В момент времени T1, согласно (2.70)

и (2.72), значение накопленной добычи нефти становится бесконечно большим, поэтому степенное решение (2.72) верно только как промежуточно-асимптотическое [40].

Для устранения особенности в точке t = T1 С. П. Капица предложил добавить в знаменатель правой части уравнения (2.72) регуляризующее слагаемое т :

= C2 (2 73)

dt (Т1 -1 )а+1 +та+1

В работе [36] показано, что уравнение (2.73) при а = 1 хорошо опи-

-1->> 1

уравнение (2.73) сводится к модели (2.72), описывающей автомодельную эволюцию.

Положив а = 1 и C2 = Q0T , получим следующее уравнение, описывающее динамику накопленной добычи нефти:

dV = Q0T2

Легко видеть, что величина т имеет смысл характерного времени

«перестройки».

Модель (2.74) радикально отличается от логистической модели немонотонным характером изменения. Действительно, из (2.74) и (2.75) можно получить

= 1 - 2z arcctg z

T\z +1 arcctg z

Накопленная нефть, V

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

6 70

T1 tm

78 80 82 86 90 94

98 02 06

Время, t

Рис. 2.11. График накопленной добычи нефти Усть-Балыкского месторождения, пласт БС2+3

фактические данные;

модель С. П. Капицы

Легко показать, что z = z* = 0,43 при - = 0, т. е. функция р имеет

максимум (см. рис. 2.12) в момент времени [36]:

t*= Г1 - 0,43т. (2.77)

При практическом применении модели (2.74) параметры Q0, T , т

определяются из условия наилучшей аппроксимации экспериментальных данных, представленных в виде выборки {t; }, где - значение накопленной добычи нефти в момент времени , i = 1, 2,l.

При этом промежуток времени [t1, tl J делится на два интервала: интервал обучения [t1, tm ]и интервал экзамена [tm, tl ]. Данные первого интервала используются для подбора значений параметров Q0 , т и T1 путем минимизации невязки

1 m

/l(Qo,т,Tl )= X [V (ti; Qo,т,Tl)-Vi ]2, mi=1

(2.78)

где V(ti; Qo,т, T1) - решение уравнения (2.74), полученное при данных значениях Q0, т, T1 и начальном условии

t=t,

=V1.

(2.79)

Относительная скорость роста

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

янв 81 янв 83 янв 85 янв 87 янв 89 янв 91 янв 93 янв 95 янв 97 янв 99 янв 01

Время, t

Рис. 2.12. Наличие максимума относительной скорости роста

Затем на интервале экзамена вычисляется невязка

/2(Qo,т,Tl) = ТТ [V(t,-;Qo,т,Tl) - Vj]2 ,

\L - m) j=m+1

которая определяет качество прогноза по модели (2.74). Значения Q0 , т , T1 , минимизирующие невязку /2 , используются для экстраполяции значений накопленной добычи нефти за пределы интервала [t1, tl ]и, в частности, для оценки извлекаемых запасов нефти по формуле

-- arctg

(3.34)

Последнее выражение легко получить из (2.75), приняв во внимание условие (2.79) и перейдя к пределу t , когда V а и

arctg