Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Введем функции

H1 (х )= J k2 (a)dP, H 2 (x )= J PF (a)dP,

Pc Pc

d 2 H1 = d 2 H 2 = 0

Отсюда получаем

k 2 (a)

, , = const

PF (a)

Тогда величину можно определить из соотношения

k2 (a2) = Pck2 (a1)

F ((J2) pkF ((J1 ) Перейдем к построению оценок решений системы (3.71). Исключив

(3.75)

из системы (3.71) величину

PF (a)

-P] a1aP -

получим

k2(a)

-P ]

a1(1 + a(7)

(3.76)

a2 -X Рассмотрим случай a> 0. По теореме сравнения имеем

P(x, 1 )< P(x, 1 )< P(x, 1), где функции P(x, 1), P(x, 1) являются, соответственно, решениями уравнений

(3.77)

PF (a) - a1k2(a)

PF (a) - a1aPk2(a)

- X

\ = a1(1 + aa)

\ = a1(1 + aa)

(3.78) (3.79)

и удовлетворяют условиям (3.72).

Представим уравнения (3.78), (3.79) в виде

F (a) a1aPkk2(a) F(a) - a1aPkk2(a)

- (P)n+2 = a1(1 + aa) - (P)n+2

-(P)n+2 = a1(1 + aa) - (P)n+2

(3.80)

(3.81)

Величина постоянной n > 0 в (3.80), (3.81) выбирается из усло-

вия n(a + 1)>а(1 + n)-. Далее предположим, что справедливы неравенст-

k1(а) + -a1 1 + а a2 L

1 -

k 2 (а)> 0,

kl(а) +

1 + a

a2

k2 (а)[ < 0.

(3.82)

Очевидно, что неравенства (3.82) выполняются при не слишком ма-

-1 -2

лых а, так как a1a2 ~ 10 , а ~ 1. Условия (3.82) вместе с (3.73) позволяют применить к уравнениям (3.80), (3.81) результаты п. 1.

Получаем, что функция Р1(х, t), которая является в D нижней оценкой для Р(х, t):

Р(х, t)< Р(х, t)< Р(х, t),

удовлетворяет уравнению

д 2 (P1n+2) д(р1п+2

A1 д 2

A1 = +1Pc- n max а2 <а<а1

д t

F (а) - a1a2-aPchPj-hk2 (а) a1(1 + аа)

(3.83)

и условиям (3.72).

Функция P2 (y, t), являющаяся верхней оценкой для функции Р(у, t)

в области

кция 2 являю

D2{о < У < l2; t > 0}

Р2(у, t)> Р(у, t)> Р(у, t),

удовлетворяет уравнению

д 2 (P2n+2) л д(р2п+2) д у

У = Р?

n -1 F(а)-aa1k2 (а) <

a2Pk

A2 = a1 Pc-2n-1 max

а2 <а<а1

(1 + аа)F (а)-a1k2 (а)

a2Pkn

l2Pc n max

F (а)-aiaPcLk 2 (а)

a2Pkn

а2 <а<а1

и условиям (3.71).

Решения соответствующих задач имеют вид

P1n+2 (х, t ) = Pcn+2 +(рпП+2 - Pcn+2)

P2n+2 (у, t) = +2 + +2 - +2 J

in+2

n+2 n+2

х 2 1 ( к2m2А,- + -X - exp--l Km=1m l2

+ -X-exp--

l2 Km=1 m

. кmx sm-

. Kmy sm

, (3.84)

. (3.85)

V A2l2 J

Для определения расхода жидкости или газа при х = 0 необходимо дР (о, t)

оценить величину

Учитывая условия (3.70), (3.82), (3.83), из (3.84), (3.85) получаем

F (a)-a1k2 (a)

a2 Pk

<-р0,IY < Pn max

- X - X a2 <a<a1

Используя (3.84), (3.85), окончательно находим

(РГ2 - РпП+2 )l -1Pc-n-1 1 + 2 V exJ-

-Ppi (0,1)

1 + 2 V exp

< -P(0,t) < в(рп+2 - pn+2)l-1pc-n-1 -X

B min

a2 <a<a1

F (a)-a1k2 (a)

a2Pkn 2

1 + 2 V exp

m=1 г

A2l22 у

(3.86)

= max a2 <a<a1

F (a)-ak2 (a)

a2Pkn 2

Рассмотрим теперь случай, когда а< 0. Аналогично предыдущему имеем P(x, 1 )< P(x, 1 )< P(x, 1), где функции P(x, 1) и P(x, 1) являются, соответственно, решениями уравнений

k2 (a)

-(P)2 -a1(1 + aa)-(PY

P -1 a1(1 + aa)-(P")2

и удовлетворяют условиям (3.72). При этом предполагается, что 1 + aa> 0.

Условия (3.70) в данном случае выполняются, что легко проверяется непосредственно.

Повторяя те же рассуждения, что и в случае a> 0, приходим к следующим результатам.

Нижняя и верхняя функции для Р2 (x, 1) имеют вид

Р12 (х, 1 )= Р2 +(Pi - Pc\

X 2 1

-+- X-exp

l nm=1m

- l 2

7 m x sin-

P22 (y, 1 ) = pC2 +(Pk + Pc2

y 2 1 ( 7t2m2t

l2 7 m=1 m

F (a)-aaPpLk22 (a)

0 L a2 Pc

l2 = max a2 <a<a1

B2l22

F (a)-aapkk2 (a)

a2Pc J

B1 = Pk max a11 (1 + aa) [C (a) - a1a2 ak2 (a)] , a2 <a<a1

B2 = a1Pc max [((a)-a1a2 aPkPc k2(aa)) .

a2 <a<a1