Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Глава 2

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

Правильная постановка вопроса свидетельствует о некотором знакомстве с предметом.

Ф. Бекон

К прямым задачам математической физики относят задачи нахождения следствий заданных причин (например, определение полей при заданных источниках).

Обратными задачами в этом понимании являются задачи отыскания неизвестных причин заданных следствий. (Например, определение характеристик источников поля по значениям поля, измеренным в некоторых областях пространства.)

Обратные задачи имеют исключительно важное значение при решении вопросов моделирования, контроля и управления технологическими процессами в сложных системах. В частности, это относится к процессам нефтегазодобычи, связанным с фильтрацией и движением по трубам структурированных многокомпонентных многофазных жидкостей, обла-даюш,их сложными реологическими свойствами (нефтей с парафинистыми и асфальтено-смолистыми включениями, нефтеводогазовых смесей, буровых растворов полимеров и поверхностно-активных вешеств и т. д.).

Часто описание сложных систем затрудняется отсутствием теоретических предпосылок, которые позволили бы построить обоснованную априорную модель рассматриваемого процесса, т. е. выписать в явном виде систему моделируюших уравнений, задать значения параметров в этой системе и указать начальные и граничные условия. В таких случаях постановка и решение обратных задач позволяет путем анализа экспериментальной информации выбрать адекватную модель, оценить ее параметры и определить, если это необходимо, недостаюшие начальные и граничные условия.

Процедуры подобного рода называются идентификацией математической модели процесса, а полученные таким образом модели называются идентификационными.

В отдельных случаях структура модели может быть определена заранее (например, выведена обычным путем из законов сохранения), и речь идет только об оценке неизвестных параметров (задача идентификации в узком смысле слова).

Наряду с повышением надежности расчетов, результаты решения обратных задач могут быть использованы в диагностических целях (например, для оценки эффективности воздействия на объекты управления).

Обратная коэффициентная задача

Пусть изучаемый в эксперименте процесс моделируется решением задачи

L0[u] = g(х,в), xG X с Rk, (2.1)

с дополнительными условиями

l0[u] = h(х,в), xGdX . (2.2)

Здесь x = {xi,X2,X3,....,Xk} - набор так называемых контролируемых переменных, Og Q. - совокупность некоторых параметров, Ll] - детерминированный дифференциальный оператор, зависящий от О, Rk -евклидово пространство размерности k, dX - граница множества Х.

При заданных в задача (2.1)-(2.2) интерпретируется как обычная начально-краевая задача математической физики и является прямой задачей определения «следствия» (решения) u по «причинам» - набору известных в, g, h и заданных Le и le .

Если же величины в неизвестны, то возникает следующая обратная задача: оценить исходные параметры в и функцию отклика u = u(x,e) для модели (2.1)-(2.2) по экспериментальным данным, если в эксперименте наблюдаются некоторые функционалы [u] от отклика u [1, 2].

Экспериментальные данные, предоставляющие информацию для оп-

л л л

ределенных оценок в и u = u(x,e), могут быть заданы в виде системы наблюдений

i = 1,2,..., n, (2.3)

r = 1,2,..., ri,

где yir - результат r -го измерения u в точке xi, £ir - ошибка этого измерения.

Оценки параметров в, полученные с помощью случайных величин , сами являются случайными величинами. Смещенность или

несмещенность, а также дисперсия оценок определяется статистическими методами на основе некоторых предположений о распределении случайных величин и о виде функции отклика u (x,e).

Так, определение и сравнение параметров уравнения пьезопроводно-сти по кривым восстановления давления, снятым до и после обработки скважины, позволяет оценить результативность этой обработки.

Рассмотрим более подробно постановку некоторых типов обратных

задач.

Пример. Обратная коэффициентная задача тенлонроводности

Пусть u = u (X, t) является решением краевой задачи теплопроводности:

L[u] = - a(X,t) uxx = g(X,t), 0 < X < l; 0 < t < T;

x=0 = uo(t); uX=1 = ui(t), t >0,

t=0 = u0(X), Xc X ={0 < X<l}.

Функции g, u0, ui заданы, требуется определить коэффициент теплопроводности a(X,t).

Представив a(X,t) в виде

a( X, t) = eifi (X, t), i=1

сведем задачу к получению оценок } по результатам измерений

yij = u(Xi, tj,в) +£ij .

Интерпретация косвенных измерений

Пусть объект исследования характеризуется элементами u g F ; если элемент u не доступен для прямого изучения, то изучается какое-либо его косвенное проявление g (x), x g X .

Элемент g (x) функционально зависит от u:

A[u ] = g (X), (2.4)

где A[] - некоторый детерминированный оператор.

Мы будем считать, что параметры в принадлежат евклидовому пространству размерности m:

в = {в1,в2,...,вт Jgc Rm.

Более общий случай принадлежности искомых характеристик функциональному пространству сводится к рассматриваемому подходяшей параметризацией:

в( X) = Zefi (x), i=1

где fi (x) - заданные базисные функции.

Дополнительные условия (2.2), а также правая часть (2.1) могут быть известны с ошибками и лишь в отдельных точках.