Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [ 106 ] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

g (x, x0 )= g1

Подставив сюда x0 = 1, имеем

g1(x)

Л(lУ откуда

A(x) = A(x / x0)

(5.55)

A(x0) Л(1)

Прологарифмировав (5.55) и осуществив преобразование

1пЛ = U (z), z = In x,

получим

U (z)- U (zo ) = U (z - Z0)- U (0), (5.65)

где z0 = ln x0 .

ной величины. Й. Корчак показал, что закону (5.53) подчиняется также распределение числа озер [25].

Согласно (5.51) при х 0 Р(Х > х. Но эта расходимость не существенна, поскольку реальные величины (доходы граждан, длина слов, размеры островов) всегда имеют ограничения снизу (и сверху). В этом смысле соотношения (5.51)-(5.53) имеют промежуточно-асимптотический характер.

Как уже отмечалось в главе 1, гиперболические зависимости масштабно-инвариантны. Для уточнения этого утверждения рассмотрим условное распределение

g(x, x0 ) = p(x > xX > x0), определяющее вероятность того, что X > x при условии X > x0. Поскольку, по правилу умножения вероятностей,

P(X > x) = P(X > xX > x0)• P(X > x0),

g (x, x0 ) = , (5.54)

где A(x) = P(X > x).

Функция g(x, x0 )при различных значениях x0 соответствует различным уровням рассмотрения исследуемой системы. Так, если речь идет о доходах, то функция g(x, x0 )определяет распределение доходов среди населения, уровень жизни которого выше предела, определяемого величиной x0 .

Распределение доходов будет масштабно-инвариантным, если функции g(x, x0) при разных x0 подобны друг другу, т. е. если g(x, x0) зависит не от x и x0 в отдельности, а только от их безразмерной комбинации х /

Переходя к пределу Z0 z, из (5.56) можно получить

U\z ) = U \0) = const, что возможно, если только функция U (z) линейна:

U (z ) = a + bz

\nA.(x ) = a + b In x,

откуда и следует (5.51) с A = ea, a = -b.

Таким образом, гиперболическое распределение (и удовлетворяет условию масштабной инвариантности (5.55).

Легко видеть, что условное распределение g (x, x0) имеет вид

1, x < x0

только оно)

g(x,x0) = Р(Х > xx >x0) =

x > x0

Соответствующая функция плотности распределения определяется

f (x)

dg (x, x0 ) =

x < x0 -(a+1)

x > x0

(5.57)

В какой-то мере универсализм гиперболических распределений можно объяснить тем, что они характерны для систем, образование которых контролируется процессами кластеризации. А этот механизм достаточно широко распространен в природе [26]. Так, в социологии давно известен феномен, который можно выразить словами «успех порождает успех». Часто употребляемые слова становятся все более употребительными, крупные города разрастаются быстрее, часто цитируемые статьи все чаще цитируются и т. д. Все это - примеры социальной кластеризации, феномена, которому Р. Мертон дал название «эффект Матфея», имея в виду библейское изречение «имущему дается».

Гиперболическая функция описывает резко неоднородное, асимметричное распределение. Покажем это, воспользовавшись координатами Ципфа.

Пусть (х(1), x(2), ...x(N)) - ранжированная в порядке убывания выборка значений аддитивной величины x , распределенной по закону (5.53), N - объем выборки, а(п) - сумма первых n значений x(r) (n = 1, 2,..., N);

0 - сумма всех значений x:

(j(n)= X X(r), 0 = (N).

Ji = v1-в.

График этой зависимости при в = 0,85 (значение, характерное для распределения доходов) представлен на рис. 5.19 (кривая ACB). Этот график (так называемая кривая Лоренца) наглядно показывает неравномерность распределения, описываемого гиперболическим законом: уже при малых значениях v величина Ji близка к единице. Так, при v = 0,2 J= 0,8 . На примере распределения доходов это означает, что всего лишь

20% населения получают 80% доходов, в то время как остальные 80% имеют всего лишь 20% доходов. В более общем виде это правило, называемое принципом Парето, формулируется так: «В больших системах 80% случаев вызываются 20% причин и наоборот». Следует отметить, что граничные значения 80% и 20% достаточно условные, поскольку при других значениях в это может быть 90% и 10% или 70% и 30% и т. д.

Легко видеть, что абсолютно равномерное распределение доходов описывается прямой АВ (в = 0). Чем сильнее кривая Лоренца отклоняется от прямой АВ, тем больше неравномерность распределения, поэтому мерой неоднородности может служить величина

L = S асва S аве

представляющая собой отношение площади криволинейной фигуры ACBA к площади треугольника ABE. Эта величина называется коэффициентом Лоренца (или Джини [27]). Поскольку S аве = 0,5 и

Sасва = v~вdv- Sаве = --в ~ :2,

Введем безразмерные переменные

(7(n) n

Легко видеть, что величина Ji представляет собой долю «накопленную» в результате n реализаций, а v - соответствующая доля реализаций. Так, если говорить о доходах, то Ji есть доля совокупных доходов,

принадлежащих v-й части населения; если объем выборки велик, то сумму можно заменить интегралом и считать n >>1 . Тогда, в предположении в < 1, получим

откуда