Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [ 67 ] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

других расчетных моделей, например цилиндрической или сферической диффузии, получаемые формулы будут иметь аналогичную структуру). Обозначим через l размер области диффузии, через С - массу сорбированного газа в единице объема скелета породы. Уравнение диффузии

дс = D дС

о < x < l

(3.50)

необходимо дополнить начальным и граничными условиями. В качестве начального условия примем

C(0, x) = C1. (3.51)

В сечении х = 0 имеем естественное условие

дС дх

((,0) = 0.

(3.52)

В сечении х = l происходит попадание молекул газа на поверхность блока породы. Пусть а(Р) - изотерма сорбции. Тогда, учитывая кинетический характер сорбционного процесса, условие при х = l можно записать в

виде

дС С - a(P)

(3.53)

д t T

где Т - параметр размерности времени.

Для определения массообмена между свободным и сорбированным газом необходимо определить величину

дС (l, t)

q =- D-

(3.54)

Нетрудно заметить, что величины f и q связаны соотношением

f = s(1 - m)q, (3.55)

где s - удельная поверхность пористой среды.

Таким образом, уравнения (3.49)-(3.55) составляют полную замкнутую систему фильтрации газа с учетом сорбции.

Применим для решения задачи (3.50)-(3.53) преобразование Лапласа с параметром а. Опуская промежуточные выкладки, получим выражение для изображения потока q :

(3.56)

1 + ot

где a - изображение функции a[P(t)

Из (3.56) следует, что поток q(t) можно представить в виде свертки

q(t)

F ((-t))(p(t))-С1 ]dt,

(3.57)

где F(t) - ядро, конкретное выражение для которого приводится ниже.

Далее рассматривается одномерная фильтрация. Используя (3.49), (3.50) и (3.57), получаем уравнение фильтрации газа с учетом сорбции (газ принимается идеальным):

=А. А. {P 1+(1 - m)sP0 ,(t).

-1 тм - y - y

Примем, что изотерма сорбции линейна, т. е. а(Р) = аР. Учитывая (3.57) и проводя обычную линеаризацию, вместо последнего уравнения получаем

2 2 2

= Х --Pr - b ] F (t - т) [p 2 (т, y) - P12 ]dT; (3.58)

-t -y2 -t0

X = kpCL. h = 2(1 - m) saP0 тм mp0

где р1 - начальное давление; Рср - среднее давление.

Проанализируем на основе уравнения (3.58) особенности фильтрации газа в сорбируемых средах. Вначале упростим уравнение (3.58). Известно, что коэффициент диффузии молекул газа в твердом теле имеет ве-

-9 -8

личину порядка 10 10 с. Поэтому характерное время диффузионного процесса может значительно превышать гидродинамическое время. Так, например, для блоков размером 10 см это время составляет порядка нескольких суток, что значительно превышает обычные времена традиционных лабораторных исследований на кернах. Для блоков размером 10-1 100 см времена диффузии соизмеримы с периодом эксплуатации залежи. Исходя из приведенных оценок, в уравнении (3.58) можно пренебречь членом в левой части, в результате чего получается

-2р2 =в-- \F (t-т)[р2(т, y) - Р12 ]]т, в = hX"1, (3.59)

- y2 -t

где F(t) - оригинал функции (а 1D)1/2(1 + &Г) 1t aD 1.

Очевидно, что решения уравнения (3.59) описывают квазистационарные фильтрационные течения, когда медленные изменения характеристик потока определяются процессами диффузии.

Рассмотрим одномерную фильтрацию газа через образец длиной L при заданном перепаде давления. Для этого необходимо решить уравнение (3.59) при условиях

Р2(0, y) = Р12; P2(t, L) = P12(t); P2(t,0) = P22(t); P1(0) = P1. Применим для решения задачи (3.58), (3.59) преобразование Лапласа,

обозначив u = P :

d-uu = в¥а u = Y2u; u(L) = P12; u(0) = P22.

Решая сформулированную задачу для объемного расхода газа, полу-

чаем

2pPo L

[1 +

-thl.,\

1 + ат V

(3.60)

Переходя к оригиналам, для больших значений t будем иметь

Q(t)

2pPo L

AP 2(t)

+ 2pL D д VR(t-T)AP2(T)dT , (3.61)

где AP2 = P12(t) - P22(t); R(t)

n2VD 1

Если T <<

T1, т. е. диффузия является лимитирующей стадией

процесса, то (3.61) упрощается:

Q(t)

2 2PL2 D д \

AP +

AP2(T)dT

(3.62)

2pP2 L 3l д(

Сравним соотношения (3.61) и (3.62) при постоянном значении разности квадратов давления AP2. В соотношении (3.62) дебит Q(t) монотон-

но уменьшается от Q(0)

2pPo L

2PL2 D

AP2 до Q(-)

2pPo L

AP 2.

С учетом кинетики сорбции, т. е. при Т Ф 0, при постоянном AP дебит Q{t) меняется от Q(o) до Q() немонотонно, проходя через максимум

VD 1

T2VDT 4l

При D = 0 из (3.62) получаем линейную связь между AP и Q . Отметим, что эта связь остается линейной, несмотря на зависимость от времени, поскольку полученное решение справедливо при временах, значительно превышающих гидродинамическое время установления режима

течения, равное

Рассмотрим влияние диффузии на зависимость Q = Q(AP2). Не

трудно показать, что сорбция газа породой оказывает существенное влияние на фильтрационные характеристики. С этой целью проведем следую-