Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Обратная задача, связанная с интерпретацией косвенных изменений, заключается в оценке элемента u по некоторым функционалам b[g (x)] от правой части (2.4) при заданном А.

Например, могут производиться измерения в точках x2,...,xn g X :

yi = g (xi) + ( xi).

Требуется найти оценку u для модели (2.4).

Оператор А в (2.4), как правило, является вполне непрерывным, так

что он не может иметь непрерывного обратного оператора Л"1 [3]. Это приводит к неустойчивости решения обратной задачи (2.4) относительно экспериментальных погрешностей: даже малые ошибки в измерении g могут привести к недопустимо большим ошибкам в определении u. Поэтому говорят, что обратная задача (2.4) некорректно поставлена [4-6].

После работ Ж. Адамара (J. Hadamar, 1923 г.) считалось, что некорректно поставленные задачи нецелесообразно изучать, поскольку ошибки замеров неизбежны, однако насущные потребности практики все чаще приводили к необходимости их рассмотрения.

В конце концов интуитивные методы повышения устойчивости обратных задач, выработанные поколениями инженеров и математиков-прикладников, оформились в хорошо разработанную теорию построения устойчивых (регуляризующих) алгоритмов решения некорректных задач [4-6], элементы которой будут рассмотрены чуть ниже.

Пример. Задача определения формы электрического импульса на входе кабеля u (t) по результатам записи его на выходе кабеля формулируется в виде

\к(t -T)u(T)dT= g(t), (2.5)

где к (t) - импульсная функция кабеля.

В ходе эксперимента проводятся наблюдения

y(t) = g (t) + £(t), (2.6)

где g (t) - сигнал на входе кабеля, £(t) - ненаблюдаемая ошибка измерения g в момент времени t.

Обратная задача определения u(t) по наблюдениям (2.6) параметри-

зацией u(t) = fa(t), где {fa(t)} - некоторая базисная система функ-а=1

ций, может быть сведена к решению методом наименьших квадратов системы линейных алгебраических уравнений

Z Квава = y(te), (2.7)

где Ква = \К (te-T) fа(т)dт. 0

где E[] - знак усреднения, дц= <

в N = Arg inf Ф(в), Ф(в) = y. - u (Xi ,в)]

eG i=1Gi (2.8)

yi = X yir/ ri; Pi = ; N = X ri,

r N i

где Arginf Ф(в) - значение в, при котором Ф(в) достигает минимума.

Множитель в дальнейшем можно опустить, заменив u и y на - u

и -y .

Метод стохастической аннроксимации

Потребовав минимизации функционала Ф(в) в среднем, вместо (2.8) получим оценки

в = Arg inf Ф* (в), где Ф* (в) = E[Ф(в)].

Следствием некорректности задачи (2.5) является плохая обусловленность системы (2.7), что на практике приводит к «разбалтыванию» ре-

шений в при больших m. Первоначальный подход в этом случае состоял в том, чтобы варьировать величину m в зависимости от величины ошибки е. Затем появились более тонкие методы решения такого рода задач.

2.1. Методы решения обратных коэффициентных задач 2.1.1. Регрессионный анализ

Если удается решить прямую краевую задачу (2.1-2.2) и получить явный вид функции u = u (х,в), где неизвестные в присутствуют в виде

параметров, то получение оценок в сводится к обычной задаче регрессионного анализа [1, 7-9]. Решение прямой задачи, как правило, нелинейно зависит от в , так что мы приходим к задаче поиска оценок в случае нелинейной регрессии. Примем обычные для регрессионного анализа предположения о ненаблюдаемых ошибках:

1, i = i;

0, i Ф i.

В качестве оценок неизвестных параметров в используем оценки метода наименьших квадратов:

Непосредственное определение оценок в затруднено из-за отсутствия информации о функции распределения случайных величин уг. , поэто-

му для оценки величин в может быть использована итерационная градиентная процедура

(2.9)

ГЭФ ЭФ

Эв1 Эвт J

Здесь p(s) - число, определяющее величину шага и выбираемое обычно таким, чтобы удовлетворялось условие монотонности Ф(в(<Ф(в()).

Можно показать [10], что если применяется алгоритм (2.9) и

а) Xр(s)=, Ёp2(s) <;

s=1 s=1

б) inf {(в-в* )T УвФ(в) }< 0 (£> 0), £< {в-в*)T{в-в*) <-;

в) £[УвФ • УвФ] < d(1 + в в) (d > 0),

£

то последовательность <

\ сходится к в* при s -оо с вероятностью,

равной 1 и в среднеквадратичном смысле, т. е.

lim в - в* = 0

lim E[(e -в*)T(в -в*)] = 0.

Здесь в - транспорированный вектор в.

Решение обратных задач методами теории чувствительности

При решении обратных коэффициентных задач путем итерационной минимизации невязки большое значение имеет вопрос выбора величины и направления каждого последующего «шага» в пространстве искомых параметров.