Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

2.1.6. Решение обратных задач методом модулирующих функций

В предыдущем разделе были приведены алгоритмы определения параметров моделей, использующие решения краевых задач, полученные в пространстве Лапласа. Применимость этих алгоритмов ограничена следующими причинами.

1. Использование преобразования Лапласа возможно только для линейных моделей.

2. Форма теоретического решения может быть такова, что определить параметры оказывается затруднительным.

3. Для аппроксимации весьма сложных реальных граничных и начальных условий используется ограниченное число простых соотношений. В ряде случаев это может привести к столь большим погрешностям в определении параметров, что использование краевой задачи для идентификации модели становится невозможным.

В связи с этим ниже рассматривается метод модулирующих функций, позволяющий определить параметры модели без использования решений краевых задач [14]. По этому методу идентифицируемое дифференциальное уравнение заменяется некоторыми интегральными аналогами, из которых составляются алгебраические уравнения относительно искомых параметров. При этом получаются выражения, в которых отсутствуют производные экспериментальных функций, чем ликвидируются трудности, связанные с непосредственным дифференцированием экспериментальных

III. M1 = M0 ф-Wo = ! вв = 0, Лф 0);

M0 Wo p0 - p1 - 2T0 R 2a

IV. M1фM0 Ф-= ± (вф0,ЛФ0).

M0 Wo p p 2t l 2a 0 p0 - p1 - 2T0 -

Значения параметров T0 и 2a можно определить по формуле (2.39),

p0 - p1

измеряя --- и wo для двух установившихся режимов течения с раз-

. M1 ,

ными скоростями. Затем можно подсчитать значения отношений --,

M-0-, которые должны удовлетворять одному из условий I-IV. Определив,

таким образом, какие из параметров в и Л существенные, их численные значения можно найти по формулам (2.37), (2.38).

t j, t j

функций. Следует отметить, что применение метода модулирующих функций требует привлечения большого объема экспериментальной информации. Это является неизбежной платой за возможность нахождения оценок параметров без решения прямой задачи. Для примера рассмотрим задачу определения коэффициента температуропроводности а в уравнении

ut - auxx = g (2.40)

по результатам наблюдений

yij = u (xi, tj )+£ij.

Умножим (2.40) на функции (x) = (x - xi )2 (xi- x)2 и ф(t) = (t - tj )ttj -1) такие, что

(x ) = (xi) = 0; (x ) = (xi) = 0; ф(tj )=ф(tj)= 0, (2.41)

и проинтегрируем по x и t в пределах yx, ] и \[ j, t jВыполнив интегрирование по частям, получим алгебраическое уравнение

Ai jj a = Bii jj, (2.42)

где ii jj= \\u ФЧ"dxdt, Бц jj=-\\(u ф+ g ф) dxdt.

Как видим, производные экспериментальной функции заменены производными точно известных функций (x) и ф(t), дифференцирование которых является корректной операцией. Так как экспериментальные данные представлены в виде дискретных измерений, то вычисление интегралов производится численно, по формулам приближенного вычисления интегралов. При этом вместо значений U (x, t) подставляются соответствующие значения замеров y.

Функции (x) и ф(t), позволяющие, благодаря свойствам (2.41), избавиться от дифференцирования экспериментальных данных, называются модулирующими функциями. Выбирая различные интервалы [xi,

а также различные функции (x) и ф(t) (удовлетворяющие условиям (2.41)), можно получить систему уравнений вида (2.42), которая решается относительно а методом наименьших квадратов. Для того чтобы определить статистические свойства оценок ал, нужно оценить воздействие интегральных операторов на случайные поля y(xi, tj). Можно показать, что метод модулирующих функций обладает резкими сглаживающими свойствами [14]. Дисперсия оценки параметра по методу модулирующих функций может быть сделана весьма малой, если привлекается достаточно большой объем экспериментальной информации.

Рассматривая более общий случай, отметим, что для того, чтобы

д nu

«снять» производную п-степени -, нужно использовать модулирую-

щую функцию p(z), удовлетворяющую условиям

рXa)=р(a)=L = Рп-1)(а)=0,

рXв)=р(fi)=L=Px-1)(в)=0.

Тогда

а д z а

2.2. Регуляризация иекорректио поставлеииых задач

Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что.

Одна из первых некорректно поставленных задач.

Как уже говорилось ранее, многие обратные задачи, связанные с интерпретацией косвенных наблюдений, оказываются некорректными. Как показывают многочисленные примеры, неустойчивость всегда обусловливается тем, что решение задачи ищется в слишком широком классе.

Устойчивость задачи можно восстановить некоторым сужением класса возможных решений за счет привлечения какой-либо дополнительной (априорной) информации количественного или качественного характера. Иными словами, некорректно поставленные задачи возникают тогда, когда мы стремимся смоделировать процесс, не обладая для этого достаточной информацией. Различные способы решения некорректных (по Адамару) задач отличаются видом используемой дополнительной информации.

Итак, рассмотрим обратную задачу оценки u по системе наблюдений у1 = g (xi) + £i для модели

A[u]= g(x), uG F, gG G, (2.43)

где оператор А осуществляет непрерывное взаимно однозначное отображение F - G.

Будем предполагать единственность решения обратной задачи (2.43), т. е. предположим, что если для некоторой функции g (x) уравнение (2.43)

имеет решение u , то только одно.

Задача (2.43) становится корректной, если сузить класс возможных решений u до некоторого компакта М. Это следует из топологической теоремы, согласно которой взаимно однозначное и непрерывное отображение