Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

	1У x

	предельный
	\ цикл

а) б)

Рис. 1.8. Аттракторы динамических систем

Поскольку часто нас интересует только установившееся движение, то при рассмотрении диссипативных систем можно ограничиться нахождением их аттракторов - областей фазового пространства, притягивающих траектории. Это значительно облегчает исследование динамических систем.

Кроме точек равновесия динамические системы могут иметь аттракторы в виде предельных циклов - замкнутых кривых в фазовом пространстве (см. рис. 1.8, б). Так как при движении по замкнутой кривой изображающая точка все время возвращается в некоторое фиксированное состояние, то предельный цикл соответствует периодическим колебаниям.

При изменении параметров динамической системы может меняться число аттракторов и их устойчивость. Подобные явления называются бифуркациями, а те значения параметров, при которых изменяются качественные свойства движения, называются критическими или бифуркационными.

Приведем любопытный пример с натуральными числами, в котором проявляются аналоги понятий аттрактора и бифуркации. Возьмем любое натуральное двузначное число a (напр., а = 27). Поменяв между собой

цифры этого числа, получим число а *, которое назовем инверсным к a

(в нашем случае ct = 72). Далее поступим следующим образом. Вычислим разность этих чисел (из большего вычитаем меньшее, для нашего примера

b = а - а* = 72 - 27 = 45) и рассмотрим сумму полученного числа и инверсного к нему b + b* (для нашего примера 45+54=99). Можно убедиться, что при вышеприведенной последовательности действий с любыми двузначным числом в ответе получится 99 или 0 (в случае одинаковых цифр в числе, например 44), т. е. с какого бы двузначного числа мы не начинали, в конце приходим к 0 или 99! Таким образом, эти два числа являются как бы «притягивающими числами» и исполняют роль

бы «притягивающими числами» и исполняют роль своеобразных аттракторов.

Посмотрим теперь, что будет происходить, если те же действия провести с трехзначными числами. Непосредственным перебором убеждаемся, что для трехзначных чисел количество «аттракторов» также будет равно двум (0 для «симметричных» чисел типа 333, 121, и 1089 для всех прочих чисел). А вот для четырехзначных чисел число «аттракторов» будет уже равно пяти (0,990, 9999, 10890, 10989), т. е. происходит своеобразная «бифуракция». Продолжая эксперименты с увеличением числа цифр (перебор осуществляется с помощью несложной компьютерной программы), определим соответствующее количество «аттракторов». Для натуральных чисел с количеством цифр от 1-го до 11-ти результаты расчетов приведены в таблице:

Количество цифр в числе Количество «аттракторов»

2, 3 2

4, 5 5

6, 7 13

8, 9 34

10, 11 89

Из таблицы видна закономерность проявления «бифуркаций»: увеличение числа «аттракторов» происходит с увеличением числа цифр на два.

Числа в правой колонке таблицы удивительным образом связаны с числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, т. е. число «аттракторов» увеличивается по закону чисел Фибоначчи с нечетными номерами. Обнаруженная закономерность может быть строго доказана.

Данный пример мы приводим также для того, чтобы показать, как через «простое» можно проиллюстрировать такие достаточно сложные понятия, как аттрактор и бифуркация. Неслучайно одним из проявлений интеллекта считают умение видеть различие в сходном и сходство в различном.

Рассмотрим теперь явление бифуркаций на примере динамической системы.

. / 2 2

- = Ax + y - x x + y

dy 2 2

-d- = -x + Ay - y\x + y

Перейдя к полярным координатам, x = r cos cp, y = r sin , получим rcosp- rp>sinp = rsinp + Arcosp- r3cosp,

rsin + rq)cos = Arsin-rcos- r3sin,

/ 2 . 2 где r = x + y .

Сложив первое уравнение, умноженное на cos q, со вторым уравнением, умноженным на sinq , и отняв от второго уравнения, умноженного на cos q, первое уравнение, умноженное на sin q, получим

f dr

-r 2

< d] (1.4)

dq = -1

. dt

Из (1.4) следует, что исходная система имеет решения, соответствующие постоянным значениям r = rc. Они могут быть найдены из условия d = 0, откуда rc = Г0 = 0 и rc = Г1 =л[Л (при Л> 0). dt

Первое решение соответствует точке покоя О (0, 0), а второе - предельному циклу, представляющему собой движение по окружности с радиусом против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со = 1.

Исследуем устойчивость этих решений.

Предположим, что система в момент времени была выведена из положения равновесия О (0, 0) и отклонилась от нее на малое расстояние е. Полагая r = Г0 +е = е, получим из (1.4) с точностью до линейных по е членов

- = Ле,

откуда с учетом начального условия имеем

e = eoet. (1.5)

Согласно (1.5) при Л< 0 значение е экспоненциально убывает со временем, т. е. точка О (0, 0) является устойчивой точкой равновесия (аттрактором).

При Л> 0 начальное малое отклонение растет по закону et, т. е. точка равновесия теряет устойчивость.

Для исследования устойчивости предельного цикла положим r = Г1 + что дает

de1 dt

-2Ле1,

откуда е1 =eoe 2Лt, т. е. е1 0 при Л > 0 (устойчивый предельный цикл),

а при Л< 0 отклонение от предельного цикла со временем возрастает.

Величина Л в (1.5), характеризующая экспоненциальную скорость расхождения (или схождения) двух исходно близких траекторий с е0 = 0