Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Требуется определить коэффициент а по дополнительному граничному условию, заданному, например, в виде

=l =0 (t), (2.26)

где l - длина трубопровода.

Исключая pw, для определения давления p(x, t) получим уравнение

д2p = д2p 2al дp дX2 ~ д!2 + c д! с дополнительными условиями

p t=0 = 0;

dm 2al dt с

px=0 = f (x ); где X = -, t =-1, p = -, f

l l p0

значения соответствующих величин.

Применив преобразования Лапласа, получим, опуская черточку над безразмерными переменными,

p0, р0, w0 - характерные

d2U ( 2 2al s +-s

F (s),

p0 w0 c

где U, F, Ф - изображения функций p, f, ср. Отсюда

U (x, s ) = F chyx -Ф1sh Yx,

(2.27)

2 2al

где г = Лs , Ф1 =

p0 w0 c

s +

Если 1 - изображение функции

то из (2.26) и (2.27) получим

1 = F chY-Ф1shY. Для упрощения рассмотрим асимптотику s 0. Ограничиваясь линейными по s членами, получим

Ф (s )

р0 w0 c

(2.28)

F (s )-1(s)

Мл = \t" (u- u (t ))(dt, л = 0, 0

где - предельное значение характеристики процесса u (t).

Эти моменты могут быть определены как по экспериментальной зависимости y(t) (обозначим их через МЛ1), так и по теоретической зависимости u (t, e), получаемой из решения прямой задачи (обозначим

их (в)). Приравняв соответствующие теоретические и экспериментальные значения моментов, получим соотношения для определения параметров модели в :

МЛ (в) = Мэ, л = 0, 1,, N-1, где число соотношений N определяется количеством неизвестных параметров модели. Кроме того, из величины моментов можно составлять диагностические критерии адекватности выбираемой модели реальному процессу.

Предполагается, что кривая y(t) задана на достаточно большом интервале [0, T] так, что y (Т)~ uо и {(u - y(tdt ~ 0, поэтому экспери-

ментальные значения моментов вычисляются по приближенной формуле

М - l[uо- y(t))dt. (2.29)

При проведении расчетов на практике интеграл (2.29) берется численно. Вычисление теоретических значений моментов (в) существенно упрощается, если прямая задача решена операционным методом. Легко показать [8], что если u(s, в) - изображение функции u(t, в), то

Ml(в)=(- 1)л lim d

- u~(s, в)

Как следует из (2.28), зависимость между ф(s) и s изображается прямой, не проходящей через начало координат. Придав s несколько действительных значений, получим из (2.28) систему, решение которой методом наименьших квадратов позволяет оценить величины и 2а.

2.1.5. Метод детерминированных моментов

Одним из эффективных методов решения обратных задач является метод детерминированных моментов [8]. Детерминированным моментом л-го порядка называется выражение

Пример 1.

Определение параметров пласта по данным нестационарных исследований.

Рассмотрим неустановившуюся фильтрацию однофазной жидкости после остановки скважины. Как известно, этот процесс описывается уравнениями

д p 1 д

д t r д r

0 < r0 < r < R0 <оо,

p(r,0)= pcTa = p0 -2=nhIn = p0 - p*lnR-, (2.30)

p(R0, t )= p0, 2nr0 h p(r0, t ) = Q(t).

Здесь приняты следующие обозначения: R0 - радиусы скважины и контура питания; p0 - давление на контуре питания; Q0, Q(t) - стационарный и текущий расходы на забое скважины.

Дополнительное условие для решения обратной задачи по определению параметров пласта задано в виде кривой восстановления давления

p0 - p(r0, t) = Ap(r0, t).

Задача (2.30) в изображениях по Лапласу имеет следующий вид:

r dr

p(R0, s )=p0

s p Рстац --p =--- ,

Z X -- p(ro, s )=---Q-,

d r r0 Q0

(2.31)

/?(r, s )= p(r, t )exp(- st dt

Q(s )= \Q(t )exp(- st )dt

Решение задачи (2.31) представляется следующим выражением:

Q(s) -1

. Q0 s

Рстац

(2.32)

где K 0 (x), K1 (x), 10 (x), /1 (x) - функции Бесселя от мнимого аргумента.