Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 [ 18 ] 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

Колмогорова, показатели Ляпунова [1, 4, 5, 20, 21, 25, 31]. Широко применяемой мерой упорядоченности движения является корреляционная размерность V, которая является нижней оценкой хаусдорфовой размерности странного аттрактора и определяется через корреляционный интеграл

lim -- Zh[£-Ixi -XjI)

i, j=1

(1.16)

где h( z) - функция Хевисайда:

h(z)

= <

1, z > 0, 0, z < 0,

Xi - вектор, описывающий положение изображающей точки в фазовом пространстве в момент времени ti = t0 + it, i = 1...N, т - некоторый заданный промежуток времени, N - объем выборки.

Величина C(£) определяет относительное число пар точек, расстояние между которыми не больше е. При малых e корреляционный интеграл C(е) ~ £v, поэтому размерность V можно определить по наклону зависимости ln C от Ine, полученной расчетом C(е) по (1.16) при различных значениях е для достаточно больших N (конкретные рекомендации по проведению соответствующих вычислений приведены там же). Часто оказывается, что измеряемой является лишь одна из координат вектора X(t). В этом случае размерность странного аттрактора может быть восстановлена с помощью процедуры Паккарда-Такенса [20, 21], описание которой приводится ниже.

Пусть Xi - реализация одной из координат фазового пространства системы x(t): xi = x(ti), i = 1,2,..., N. Введем в рассмотрение новое фазовое пространство (пространство вложения) размерности m, точки которого определяются векторами YJm={xj,Xj+1...,Xj+mсконструированными

из последовательных значений величины x (j = 1, 2,n = N - m +1). При изменении t мы получим в этом пространстве траекторию, воспроизводящую некоторое множество, корреляционную размерность которого vm можно вычислить через корреляционный интеграл

Yj - Yk

nn j,k =1

по наклону зависимости lmCm от lne. Изменяя размерность векторов Y проанализируем зависимость vm от m. Очевидно, что при малых m размерность vm с ростом m должна увеличиваться. Однако если регистрируемый случайный сигнал есть проявление детерминированного хаоса, то при

Пример. Диагностирование состояния породоразрушающего инструмента

В процессе бурения возникает задача оценки степени износа долота с целью своевременной его замены. Косвенная оценка состояния бурильного инструмента по изменению механической скорости проходки не всегда надежна, поскольку уменьшение скорости проходки может быть связано с изменением свойств разбуриваемых пород, а не с износом долота. Оказалось, что для этой цели могут быть использованы значения корреляционной размерности, характеризующие пульсации давления промывоч-

некотором m = m0 величина vm перестает расти. Достигнутое при этом значение vm принимается за размерность v странного аттрактора исход-

ной системы и называется размерностью реализации. Если же рост vm

продолжается без насыщения, то это свидетельствует о том, что наблюдаемый сигнал шумовой (т. е. невоспроизводим с помощью алгоритма).

Таким образом, обычный шумовой случайный процесс можно рассматривать как движение системы на аттракторе бесконечной размерности. Конечная размерность v означает, что данный сигнал можно воссоздать с помощью динамической системы. При решении задач управления технологическими процессами важно отличать детерминированный хаос от обычных «шумов» или помех. Дело в том, что наличие внутреннего порядка в детерминированном хаосе позволяет, в принципе, управлять им, в то время как шумовой хаос неуправляем.

Показано, что минимальное число динамических переменных, необходимое для описания наблюдаемого движения, равно \у\ +1, где \у\ - целая часть V. Эта оценка может быть использована, в частности, для решения одной из самых сложных задач, возникающих при идентификации модели рассматриваемого процесса, - задачи определения ее сложности.

При реконструкции динамического аттрактора по замерам одной переменной возникает вопрос: какой размерности должно быть вложенное пространство, чтобы отобразить все топологические особенности исходного аттрактора? Ф. Такенсом доказано, что для почти любых наблюдаемой реализации x{t) и времени задержки т аттрактор вложенного пространства размерности m будет иметь те же свойства (ту же размерность), что и исходный, если только m > m0 = 2D +1, где D - хаусдорфова размерность

странного аттрактора [20].

Величина корреляционной размерности является мерой упорядоченности движения и в качестве таковой может служить диагностическим критерием, определяющим состояние объектов управления.

ной жидкости. Для примера на рис. 1.19 приведены зависимости vm = vm(m), полученные для неизношенного (кривая 1) и изношенного

(кривая 2) долота по данным, снятым на станции АГКС 4 при турбинном бурении в Альметьевском УБР. Вид этих зависимостей (рост с насыщением) свидетельствует о том, что зарегистрированные колебания давления промывочной жидкости имеют детерминированную основу.

Рассмотрим математическую модель, которая позволяет выявить некоторые возможные причины возникновения динамического хаоса в процессе бурения. В рамках расчетной схемы, представленной в [39], уравнение продольных колебаний вала турбобура можно записать в виде

MXi + fx: + F (x )= A sinat,

где М - масса вала, f - коэффициент вязкого трения, x - продольное смещение вала от равновесного состояния, F(x) - упругая восстанавливающая сила, определяемая жесткостью резины подпятников и корпуса шпинделя, Asin at - периодические возмущения со стороны забоя, возникающие при вращении шарошек.

5 4 3 2 1 0

Рис. 1.19. Зависимость vm от размерности m

жить

Аппроксимируя упругую силу F(x) гладкой кривой, можно поло-F (x) = kx + bx3, что приводит к уравнению

M:xi + fx + kx + bx = Asinat, (1.17)

представляющему собой уравнение Дюффинга.

Как известно [20], при достаточно большой амплитуде возмущающей силы и при частотах, принадлежащих интервалу неоднозначности амплитудно-частотной характеристики, уравнение (1.17) допускает существование хаотических колебаний.