Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [ 101 ] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

исходных кривых Арс (t) - оригиналов - обработкой их изображений Арс (s), полученных указанным выше способом, и составляет сушдость предложенного Г. И. Баренблаттом метода определения параметров пласта. Дальнейшее развитие этого метода с примерами практического использования приведено в работах С. Н. Бузинова, И. Н. Быкова и И. Д. Умрихина [30] и В. А. Максимова [29].

§ 8. Краткие сведения о нестационарной фильтрации газов

Как указывалось выше, в случае идеального газа уравнение состояния описывается уравнением Клапейрона у = RT, а в случае

реальных газов - уравнением - = zRT, где поправочный коэффициент Z, зависяш,ий от давления и температуры, примерно имеет вид, представленный на рис. VIII. 17. Будем считать z = 1,

- = -, т. е. будем предполагать газ идеаль-Y Уат

ным, а процесс изотермическим.

Тогда из (П. 2. 18) для функции Лейбензона будет

JVaT Ri (VIII. 8.1)

Рис. VIII. 17. График зависимости коэффициента сверхсжимаемости газа от давления.

р гат f.

2рат 2 •

Дифференциальное уравнение (П. 2. 19) нестационарной фильтрации газа имеет вид:

кр .

= я(р) X {р) =

(VIII. 8. 2)

Мы получили уравнение, сходное с уравнением (VIII. 1.8) для упругой капельной жидкости, но для газа коэффициент пьезопро-кр

водности х(р)= - уже не постоянный, а зависит от давления.

Уравнение нестационарной фильтрации газа в трубке тока пере-мзнного сечения (рис. VIII. 18) имеет, как нетрудно показать, сле-дуюш,ий вид:

>с{р)

дР . f (s) дР

/(s) ds

дР dt

При /(s) = const

x(p)

dP ~ds2~

dP dt

(VIII. 8. 3)

(VIII. 8. 4)

Рис. VIII. 18.

В полярных координатах для плоско-радиального движения s - r, j(r) = 2nrh и уравнение (VIII. 8.3) принимает вид:

I д-р , \ дР \ дР

dt dl dt h- - , dl dx dl

dP dP / as \2 , dP дЧ

дх dg2 \ дх j dl dx-

= ax--.4+a(a-l)x«- .

Подставляя эти значения в (VIII. 8. 2) и учитывая, что Р - = Р (х, t) для одномерного прямолинейного движения, получаем

Рх<Р-1- = х(/>)[ ах"- taia~\)x-

или, сокраш,ая на х" i,

/ п\ Г 9 dP , , -а .-л dP

(Р) а + а(а-1)х " <

= Рх-" + (VIII. 8. 6)

Для того чтобы (VIII. 8. 6) было обыкновенным дифференциальным уравнением, необходимо

Положим 2-а = А;а, - (1 + р)-=р, т. е. хГ + = = X < р = I , откуда

а= - 2Р.

Полагая а = 1, получаем определяющий параметр в виде

1

l = xt 2 ,

а (VIII. 8. 6) примет вид:

у{Р) + 1=0. (VIII.8.7)

Для интегрирования (VIII. 8. 7) необходимо задать значение Р (I) в двух точках (для онределения констант интегрирования).

Л. с. Лейбензон решал уравнение (VIII. 8. 2) методом последовательных приближений (Лт. 1.6, 7), не останавливаясь на вопросах сходимости. Класс автомодельных решений был указан П. Я. Кочиной и Г. И. Баренблаттом (Лт. П. 2; 31).

Рассмотрим одномерное движение в неограниченной области, для которой нет характерных размеров и будем считать, что движение определяется параметром = xt. Тогда

дР dP dl а ,p-i dP дР дР dl a-i ,p dP

У (Р) dp dy

откуда

= Р,

Таким образом, заменяя прямую линию у = р экспонентой, получаем

Р -Ро

у = Уо е Э . (Vni. 8. 9)

Все автомодельные задачи связаны с граничными условиями вида X = О, г = О, 1 = 0; = 0, = сои никакого решения для конечной области (контур, поверхность скважины) не получается. Но автомодельные решения служат эталоном точности приближенных методов, в том числе методов линеаризации, и в этом их большое принципиальное значение.

Когда X (р) = const (в уравнениях для капельной жидкости), возмущения распространяются по пласту мгновенно. Это свойство линейного уравнения теплопроводности. При фильтрации газа, когда у. = у. (р) const, как показано Г. И. Баренблаттом, скорость распространения возмущения будет уже в некоторых случаях конечной. Линеаризация, таким образом, дает бесконечную скорость распространения возмущения, хотя в остальном она обычно дает хорошее приближение к точному решению.

В последнее время был предпринят ряд попыток численных решений нелинейных уравнений нестационарной фильтрации газа на быстродействующих электронных вычислительных машинах [32, 33]. Следует указать попутно, что отмеченный выше факт конечной скорости распространения возмущений в этих численных расчетах не был отмечен. Это обстоятельство еще раз подтверждает, что современные мощные вычислительные средства не могут, да и не должны заменять аналитическое исследование в тех случаях, когда оно оказывается возможным.

Напишем уравнение нестационарной фильтрации газа (VIH. 8. 2) в таком виде:

mil dt dP dt

Jp JP , (Vni.8. 8)

dy mi dt

Подберем так уравнение состояния газа у = у (р), чтобы уравнение (Vni.8. 8) стало линейным [34], т. е. пусть

dP а

--- = р = const.

Тогда по определению функции Лейбензона