Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Расход находится путем умножения радиальной составляюп1ей скорости фильтрации ur па площадь боковой поверхпости 2nrdz и иытегрированвя произведения по Z в пределах от пуля до h:

(? = / I Ur I 2л rdz. о

(VII. 8. И)

Радиальная составляющая скорости фильтрации ir, в нашем случае будет направлена в сторону уменьшения г и, следовательпо, отрицательна, причем Wr - -д Ф/дг. Нам для вычисления расхода нужно абсолютное значение скорости.

Так как потенциал возрастает с увеличением г (скважина является стоком), то, учитывая направление скорости, можно записать и; I = Ф/дг; формула (VII. 8. И) для скважины-стока примет следующий вид:

h(r)

h(r)

2 Л rdz

., Г дФ

= 2л -л--

так как

(VII. 8.12)

При помощи формулы дифференцирования определенного по параметру получим следующее выражение для дебита:

Q = 2n

h(r)

din г

Ф(г, z)dz~Ф (h, г)

din г

Разделим переменные в последнем уравнении

л (г)

Ппг=,

Ф (г, Z) dz]- Ф (h, г) dh

интеграла

(VII. 8. 13)

(VII. 8. 14)

и проинтегрируем полученное выражение (VII. 8. 14) в пределах от г = го до г = Ro. Учитывая, что первый член правой части после интегрирования в этих пределах обратится в разность интегралов, получаем

Л (Но)

h (Но)

Ф(Яо, z)dz-

Ф (г„. z) dz -

h (ro)

Ф(й, r)dh. (VII. 8. 15)

Последнюю формулу можно интерпретировать графически следующим образом.

Возьмем оси координат Фиг, как показано па рис. VII. 17, б, и построим графики функций Ф (го, z), Ф (До, z) распределения потенциала вдоль боковых поверхностей го и Ro (кривые QP и MN).

Выясним, какой геометрический смысл имеет первый интеграл в уравнении (VII. 8. 15). Очевидно, он равен площади OMNOO.

Второй интеграл, как легко видеть, равен площади OQPOiO, третий интеграл - площади OiPNOOy, причем согласно формуле (VII. 8. 10) Ф (Л, г) изображается прямой NP.

Таким образом, правая часть уравнения (VII. 8. 15) равна, как видно из рис. VII. 17, б, заштрихованной площади S.

Сопоставим теперь с движением при наличии конуса напорное равнодебит-ное движение нефти в пласте постоянной мощности й (Ло) = Ло, когда подошва пласта горизонтальна и непроницаема и на боковой поверхности Ло поддерживается прежнее распределение потенциала. Это второе движение будем называть невозмущенным, а первое при наличии конуса - возмущенным. Невозмущенное движение происходит в расширенной по сравнению с возмущенным области, так как стеснение потока, вызываемое конусом, отсутствует. Отсюда следует, что при одинаковых дебитах и одинаковых распределениях потенциала

на внешней боковой поверхности потенциал любой точки пласта при возмущенном движении будет меньше, чем потенциал той же точки при невозмущенном. Следовательно, распределение потенциала вдоль поверхности Гс ири невозмущенпом движении будет характеризоваться пунк-тпрной кривой А ВCD, лежащей правее Kpvmou ABC (рис. VII. 18), соответствующей возмущенному движению. Согласно формуле (VII. 8. 15) S равно площади ABCDEA.

Невозмущенное движение представляет собой напорный приток к несовершенной скважине при горизонтальных и непроницаемых кровле и подошве, т. е. сравнительно хорошо изученную задачу.

Из рис. VII. 18 следует, что точка С пересечения прямой DC с кривой ЛЛCD лежит ниже точки С, соответствующей ординате точки, практически совпадающей с вершиной конуса. Кроме того, так как возмущенное и невозмущенное движения равнодебитны, площади ABCDEA и АВCDDEA равны согласно формуле (\\\. 8. 15), откуда следует, что площадь ленточки АВСС В А А равна площади треугольника DCDD.

Предположим теперь, что при сохранении потенциала Ф (Ло, z) дебит скважины начал увеличиваться. Это достигается соответствуюпщм уменьшением забойного потенциала на стенке скважины, т.е. уменьшением Фс (rcz). Условие устойчивости водяного конуса согласно формуле (VII. 8. 4) имеет вид:

к Ду

Рис. VII. 18.

(VII. 8. 16)

Ввиду малости радиуса скважины по сравнению с /г и Лц можно считать предыдущее условие эквивалентным неравенству

а Ф \ к Ау

= lg p.

Угол р показан па рис. VII. 18.

Отсюда следует, что перед началом прорыва воды распределение потенциала в нефтяной части Ф (О, z) ниже дна скважины будет изображаться кривой СВ (рис. VII. 18), касательная к которой в вершине конуса составит с вер-

тикалью угол р = arctg-

к Ay

Граница раздела воды и нефти при этом будет

закапчиваться острием (точкой возврата), что указывалось ранее Д. А. Эфросом [23] (рис. VII, 19, а).

Распределение потенциала вдоль оси скважины при равнодебитном невозмущенном движении с тем же потенциалом Ф (Яо, z) согласно предыдущему будет происходить при больших потенциалах и графически изображаться пунктирной кривой ВВ"CD, лежащей правее кривой ВС. Существенно отметить, что так как площадь треугольника DCDD должна быть равна площади ленты ВВ"ССВ (верхняя часть ленты не показана) то, во всяком случае, площадь треугольника DCDD будет больше площади сегмента В"ССВ".

Рис. VII. 19.

Рассмотрим теперь невозмущенное движение в пласте мощностью Л о при том же распределении потенциала Ф (Яо, z). Предположим, что дебит при невозмущенном движении начал увеличиваться и дошел до такого значения Qi, когда кривая распределения потенцпала Фдевозм (" ") (кривая ЯСИ, рис. VII. 20) касается прямой DB", соответствующей потенциалу границы раздела воды и нефти при возмущенном движении, в точке С.

Маскет [Лт. I. И] принимает Qi за предельно возможный нефтяной безводный дебит. Докажем, что Qi будет заведомо больше предельного дебита возмущенного движения (Зпред! при котором начинается прорыв воды в скважину. Для этого обратимся к рис. VII. 18, VII. 19, VII. 20.

Если бы было возможно устойчивое возмущенное движение с дебитом Q, то высота подъема вершины конуса должна была бы быть больше у, {у(. > у,), как это следует из рис. VII. 18. Как указывалось выше, потенциалы возмущенного движения должны быть меньше потенциалов тех же точек при невозмуп;ен-ном, т. е. Фневозм (О, г) > Фвозм (О, г), причем потенциал вершины конуса должен при всех обстоятельствах лежать на прямой DB".

Иэ рис. VII. 20 видно, что одновременное выполнение этих условий невозможно, откуда следует, что равновесие воды нарушится при предельно возможном дебите Qnpen возмущенного движения, меньшем Qi. Таким образом, > > Qnpen-