Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

При достаточно большом b отсюда следует согласие с формулой (VII. И. 53). Интересно отметить, что формулы (VII. 11.68) и (VII. 11.69) отчетливо выявляют эффект разности объемных весов в отличие от формул (VII. И. 58) и (VII. И. 59), где он несколько завуалирован. Если разность объемных весов не учитывать, то получилось бы о = ро Ь = 2 а при ро > 1 и о = Ь при ро < 1. Формулы (VII. И. 68) и (VII. И. 69) показывают, что эффект сил Архимеда сказывается в дополнительном возрастании о тем меньше, чем больше ро и Ь. Практически при ро > 2, Ь > 5, как ука.зывалось выше, этот эффект почти не играет роли.

Таким образом, грубая аппроксимация границы раздела прямой линией дает довольно правильные результаты для движения одной из граничных точек - той, которая взята за основную при составлении исходной системы уравнений.

Для дополнительной оценки рассмотрим случай ро = 0. Из (VII. И. 64) и (VII. И. 66) имеем

li = 4-b---УЬЧ. (VII. И. 70)

2 2

Из формулы (VII. 11. 19) получаем

Ро 4

(VII. 11.71)

Для случая 6 = 0 -фиксированного уровня в безнапорном бассейне - из (VII. 11.71) будет

ЗЬ~УЬ+Г=.0. 62 = 0.5, 6 = 0,709 (VII. 11. 72)

вместо Ь = 0,882 для параболической аппроксимации (VII. 11.49), т. е. почти на 20% меньше. При 6 = 0,709 для о согласно (VII. 11-66). где полагаем ро = 0

1о~Ъ+±ГЬЧ = + Ц = ШАУ2 (VII. И. 73)

вместо точного значения о=1614, т. е. на 12% меньше.

Возьмем теперь за опорную точку = i, u = l и вместо уравнения (VII. 11.62) уравнение (VII. И. 14):

Poll

-=(Poli-b) = ai-

(VII. И. 74)

Из уравнений (VII. 11.61), (VII. 11. 63) и (VII. 11.74) получаем для 1, квадратное уравнение

1о = 2а-1, 1\~

Отсюда

(1+Ро)6 Ро

li+-

«-1

= 0.

(VII. И. 75) (VII. И. 76)

При (1-р„)2Ь2>4р„ из (VII. И. 76) получаем

g (1+Ро)6 1 2р„ - 2р„

(1+Ро)6 2ро

2ро "

1-Ро16

(VII. 11.77)

В (VII. 11.76) и (VII. 11.77) нужно выбрать знак минус, так как при знаке плюс получается gj > b, что невозможно. Таким образом,

\о + • (VII. И. 78)

Следовательно, при - > 4ро имеем

(i+jxb 1-(1оЬ

2Мо 2jXo

При Но > 1 из (VII. И. 79) имеем

(1 + Мо)Ь (Мо-1)Ь 1

1-Но1*

2Но 2Но (Мо~1)Ь Но (Мо-

что достаточно близко при Ь > 1 к (VII. И. 55) и (VII. И. 59).

(VII. И. 79)

(VII. И. 80)

,„,1,1,1,11111,II,,,,I,,film,11,1,,

Рис. VII. 36.

При Но < 1

. (1 + Мо)Ь (1-Мо)Ь 1 б 1

2но 2Но (1-Мо)6 (l-Mo)b

(VII. И. 81)

что также достаточно близко согласуется с (VII. И. 55) и (VII. И. 59). Таким образом, весьма грубая аппроксимация границы раздела прямой линией при заданном Ь, т. е. заданном темпе закачки, дает весьма хорошие результаты для движения точек границы раздела вдоль подошвы и кровли пласта.

Я. И. Алихашкин показал, что при но = 1 - вытеснение жидкостей различной плотности, но одинаковой вязкости, например пресной воды соленой, - граница раздела в точности есть прямая

и = 1 + а+±-

1о = 2а-М, ?1 = 2в-1.

(VII. 11.82)

Легко проверить, что (VII. И. 82) точно удовлетворяет дифференциальному уравнению (VII. И. 6) и условиям (VII. И. 10), (VII. И. 13) и (VII. И. 14).

Вполне аналогичным образом может быть рассмотрена задача о радиальном вытеснении. Пусть жидкость 1 нагнетается в скважину и вытесняет радиальным образом жидкость 2, ранее находившуюся в пласте (рис. VII. 36).

Предполагая, как и выше, давления распределенными гидростатически вдоль вертикали, для ординаты у (г, t) границы раздела получим из уравнений движения и неразрывности для скважины-источника

д Г - н2<? (t)l2nrk + Ay (h-y)dy/dr й-г(Но-1)У

Иг, (VII. И. 83)

где Q{t)-дебит нагнетаемой жидкости в скважину, согласно несжимаемости жидкостей равный суммарному расходу в любом цилидрическом сечении (рис. VII. 36) радиусом г.

Замена неременных а; на г в (VII. 11.3) приводит уравнение (VII. 11.83) к следующему безразмерному виду:

u(i-u)

1 + (Ро-1)" 1 + (Ро-1)" dl

2 du

2 dl-

(VII. 11.84)

В отличие от уравнении (VII. И. 4) для прямолинейного движения уравнение (VII. И. 84) обращается в обыкновенное дифференциальное уравнение при Q (t) = Q - const, что и будем предполагать в дальнейшем.

Умножая (VII. 11. 84) на dl и интегрируя в некоторых пределах от = о.-"(?о) = "о ДО l = li u{li) = ui, получаем

1+(Ро-1)"

и=«о

Ц-(Ро-1) "

1 ц(1 -ц) du 1 + (Ро-1)"Ж

1иЦ-и) du

1 + (Ро-1)я dl\ 2

U=Uo

l~dio.

U = Ul

(VII. 11.85)

Полагаем, как и раньше, u((i) = "p = 0, u (i) = Ui--=l. Считая

du dl

Ф oo

в точках ll, Ui=l и lo, uo = 0 и интегрируя по частям, будем иметь

ludl. (VII. и. 86)

Нетрудно видеть, что (VII. 11.86) выражает аналогично (VII. И. 10) баланс расходов. Раскрывая (VII. И. 86) и предполагая, как и в (VII. И. 12), м(1 - u)u = 0 в точках = о " = 0, 1 = 1ъ и=1, получаем для первых производных

(du\ • А

u = l

= u =

(VII. 11.87)

Дифференцируя (VII. 11.84) no и предполагая uu" = 0 в точке = or u = 0, получаем для второй производной

1-Л + А

(VII. П.!

Решение для случая радиального вытеснения принципиально ничем не отличается от рассмотренного выше случая прямолинейного вытеснения.

Ограничимся простейшей аппроксимацией границы раздела в виде прямой, даюшей, как было показано вьппе для прямолинейного вытеснения, удовлетворительную практическую точность при расчете движения граничных точек вдоль кровли и подошвы пласта. Аналогично (VII. И. 60) полагаем

"(l) = ai (l-lo).

(VII. 11.89)