Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

избыточное давление, имеем Ф = ск. В сечениях х = 0, х=1 напор задан: х = = 0, Ф = сЯ1; х = 1, Ф = сЯ2.

Строя эпюру распределения потенциала на границах или производя вычисления непосредственно по формуле (VI. 6. 2), получаем

что совпадает с (VI. 2. 4). Аналогичным путем доказывается справедливость формулы Дюпюи для безнапорного притока к грунтовому колодцу (VI. 3. 4).

§ 7. Дифференциальные уравнения гидравлической теории

нестационарной безнапорной фюштрации. Аналогия с неустановившейся фильтрацией идеального газа

Рассмотрим нестационарный безнапорный грунтовый поток при горизонтальном для простоты водоупоре. Согласно гидравлической теории безнапорного движения, изложенной в § 2, 3, считая напор

Н = Н {х, у, Z, t) вдоль каждой вертикали постоянным, для горизонтальных проекций скорости и, V, также равномерно распределенных вдоль каждой вертикали, получим при Н = h (глубине потока)

[;= -С

дН ду

(VI. 7.1)

Рис. VI. И.

qx = uH.i=~cH

где с-коэффициент фильтрации.

Соответственно расходы грунтового потока на единицу ширины в направлениях х, у равны

дН дх дН

cjvH.i = -cH=~c

(VI. 7. 2)

Составим уравнение неразрывности или сплошности нашего нестационарного грунтового потока. Для этого выделим вертикальный параллелепипед высотой Н, равной глубине потока, с основанием dxdy (рис. VI. 11) и вычислим баланс поступающей и вытекающей жидкости. Жидкость считается несжимаемой.

За время dt в наш параллелепипед поступает объем жидкости (учитывая, что и qy - расходы на единицу ширины вдоль направлений X и у)

{qxdy + qydx)dt.

Вытекает за то же время

gx + -dx]dy 4- (ду+ dy ]dx

Таким образом, за время dt в иараллелеиипеде накапливается объем dV жидкости, равный разности между поступившим и вытекшим объемами:

dV = -

dqy \

ду J

dx dy dt.

(VI. 7.3)

Накопленный объем dV пойдет на увеличение высоты Н нашего

дН ,

нараллелепипеда, изменение которой за время at равно -gfdt. Учитывая пористость, получаем

дН dt

dtm dx dy.

(VI. 7.4)

Приравнивая правые части уравнений (VI. 7. 3) и (VI. 7. 4), получаем уравнение неразрывности или сплошности грунтового потока

"-дГ--

dqx , dqy

(VI. 7. 5)

Подставляя в уравнение (VI. 7. 5) значения q. и qy из уравнения (VI. 7. 2), получаем окончательно дифференциальное уравнение гидравлической теории нестационарного безнапорного грунтового потока, называемое иногда уравнением Буссинеска (по имени впервые получившего его французского ученого):

дН т-к = с

2 " ) ду

dt т

(VI. 7.6)

Обратимся к общему дифференциальному уравнению неустановившегося движения сжимаемой жидкости (П. 2. 19). Для изотермического течения идеального газа, вводя функцию Лейбензона Р -

= (y(p)dp = получаем из (П. 2. 19)

pm- = ±VP. dt ц

(VI. 7. 7)

В формуле (VI. 7. 7) пористость т можно принять постоянной, так как изменение пористости ничтожно мало по сравнению с изменением объемного веса газа вследствие его значительной сжимаемости.

dP у УатР

Подставляя в уравнение (VI. 7. 9), получаем

т уат Рат дР Рат УатР dt l

P=JS7p, (VI. 7. 10)

dt m ц

В последнем уравнении р можно выразить через Р согласно уравнению Р = р". Тогда получим

2Рат

dt jkVP (VI-7. И)

Уравнение (VI. 7. И) представляет собой окончательный вид уравнения Лейбензона для нестационарного изотермического движения газа в пористой средз.

Выражая Р через давление, уравнение (VI. 7. 11) можно записать еще так:

дР Уат „ др

dt Рат V - V

Уат ар !У212(± „2 Рат dt mpipax 2

4r = 7;V(p). (VI. 7. 12)

Уравнение (VI. 7. 12), как отметил Л. С. Лейбензон, имеет замечательное сходство с уравнением гидравлической теории нестационарного безнапорного движения жидкости. Действительно, уравнения (VI. 7. 12) и (VI. 7. 6) совпадают.

Тогда уравнение (VI. 7. 7) можно записать так:

-7I7-Ir = iv. (VI. 7. 8)

Последнее уравнение можно представить еще в таком виде:

ml4l-±P. (VI. 7. 9)

Рат dP dt а

dP = y dp,

dp 1 Рат