Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [ 21 ] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

ГЛАВА III

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ О ПРИТОКЕ К СОВЕРШЕННЫМ СКВАЖИНАМ

§ 1. Связь теории функций комплексного переменного с плоской задачей теории фильтрации. Функция тока. Комплексный потенциал

Плоское движение несжимаемой жидкости в пористой среде, следующее линейному закону фильтрации, является наиболее хорошо исследованным благодаря тому обстоятельству, что здесь оказалось возможным применить одно из наиболее мощных средств математического анализа - аппарат теории функций комплексного переменного.

Рассмотрим плоское движение несжимаемой жидкости в пористой среде. В этом случае мы имеем следующие уравнения движения:

дх дф

Проекция скорости на ось z w = 0, потенциал ф = сН =

зависит только от координат х ш у.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости принимает вид:

+ il = 0. (Ш.1.2)

Подставляя значения компонент скорости и, v из уравнений (П1.1.1) в уравнение неразрывности (1П.1.2), получаем уравнение Лапласа на плоскости

v- + f = o. (Ш.1.3)

Найдем уравнение линий тока нашего плоского движения.

Напомним определение линии тока. Линия тока - это линия, касательная к которой в любой точке совпадает но направлению с вектором скорости жидкости частицы, находящейся в этой же точке.

Можно построить новую функцию, связанную определенным образом с потенциалом скоростей. Эта новая функция, называемая функцией тока, даст нам представление о всей картине движения. К сожалению, такую функцию удается ввести только для плоского или осесимметричного движения. Для пространственного трехразмер-ного движения такой функции ввести не удается, и поэтому пространственное движение изучено гораздо хуже, чем плоское.

Дифференциальное уравнение линии тока устанавливается как следствие онределения этой линии. В общем случае движения направляющие косинусы касательной к линии тока, т. е. косинусы углов ai, az, as касательной с осями координат, равны косинусам углов, которые составляет с этими осями вектор скорости V. Отсюда следует

dy V

COS dx = - =

COS Oa = dz

COS a, = - = -

(HI. 1.4)

где ds - элемент линии тока с проекциями dx, dy dz; \ V\ - модуль вектора скорости. Для плоского движения остаются два уравнения:

dx и dy у

vdx - udy = 0. Будем

(III. 1.5)

искать интеграл этого дифференциального уравнения в виде неявной зависимости

(а:, У) = С. (HI. 1.6)

Меняя постоянную С, получаем уравнение семейства линий тока. Изменение С соответствует переходу от одной линии тока к другой (рис. III. 1).

Введенная нами функция W = W {х, у) обладает тем свойством, что она постоянна не во всех точках плоскости, а только вдоль заданной линии тока. Ири переходе к другой линии тока константа С меняется. Функция (х, у) называется функцией тока.

Рис. III. 1. Эквииотенциали и линии тока на комплексной плоскости течения.

дх ду ду дх

откуда

дФ dV дФ dV ,

-а = -df = ~-d7- (III.1.10)

Уравнения (III. 1.10) называются обычно уравнениями Коши и Римана.

Докажем, что W(x, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. Из системы (III. 1.10), дифференцируя первое уравнение по у, второе по х, получаем

д2ф дху Й2ф 2

дхду ду дудх дх

Вычитая второе уравнение из первого, получаем

5 + =0. (Ш.1.И)

Уравнения (III. 1.10) имеют связь с теорией функций комплексного переменного.

Введем комплексное переменное. Пусть нлоскость течения принята за плоскость комплексного переменного z = х -\-iy, ~ -1 .

Здесь не возникает опасения в смешении комплексного переменного г - х + iy с третьей отсутствуюш,ей координатой z.

Найдем связь функции тока с потенциалом скорости Ф = Ф(х, у). Вдоль линии тока W (х, г/) = const. Следовательно, полный дифференциал функции тока определяется уравнением

= -S- + 2/ = 0. (Ш.1.7)

Уравнения (П1.1.5) и (ИТ. 1.7), очевидно, совпадают. Таким образом,

dW = ~dx + -dy = vdx - udy = 0. (IH. 1. 8)

Сравнивая в уравнении (III. 1.8) коэффициенты при dx и dy, получаем

Сравним проекции скоростей м и i; из системы (III. 1. 9) с проекциями скоростей из основной системы (III. 1.1). Получаем

дФ dV дф д