Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [ 86 ] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

откуда

где Сг - постоянная интегрирования. Отсюда получаем

T=:2{C2 - bt) 2. (VIII. 2. 13)

Чтобы Т принимало любые вещественные значения при *>0, следует положить Cj = о и потребовать, чтобы b было отрицательно.

Для простоты без нарушения общности можно положить й = - --.

Тогда полагая также в уравнении (VIII. 2.12) для простоты а = 1, Cj = о, получаем

j i

Х = х, T = t \ lxt 2. (VIII. 2.14)

К такому же результату можно было бы прийти, полагая g = x°f и отыскивая а, р, при которых (VIII. 2.5) обращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Мы получили бы, как нетрудно видеть, условие вида

x2-«i-<*+P = /(g) = /(xV).

Чтобы это условие удовлетворялось, следует положить

2-а = А;а, - (1 + р) = А р, (VIII.2.15)

откуда

-a-(l+P) gft (VIII.2. 16)

где к - некоторая постоянная.

Из (VIII. 2.15) получаем

„ 2 о 1 «- Р - "т+Г»

т. е.

а= - 2р.

Без нарушения общности можно теперь положить а = 1, откуда

Уравнение (VIII. 2.10) при таком выборе переменных при ус-Т 1

ловии, что -j=b = -обращается в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

-Y%=-W (VIII. 2.17)

2х * и --=-lni/ -lnci = ln-, (VIII.2.19)

где In Ci - постоянная интегрирования.

Потенциируя и учитывая уравнение (VJII.2. 18), будем иметь

i/ = = Cie~. (VIII. 2. 20)

Интегрируя еще раз, получаем

р = сг)е dl + c.,=p{l) = p{x,t). (VIII. 2. 21)

Постоянные и Cg должны быть определены из начальных и граничных условий, которым должны соответствовать два значения .

Пусть в нашей задаче задан скачок давления в сечении х = О (галерея) с начального пластового рк до давления в галерее рс, которое поддерживается постоянным. Таким образом, начальные и граничные условия следующие:

t = О, р{х, 0) = /)„ = const, (VIII. 2. 22)

X = О, р (О, t) = pc = const. (VIII. 2. 23)

Согласно уравнению (VIII. 2.14) = со при i = О, = О при X = 0. Тогда из решения уравнения (VIII. 2. 21) получим два уравнения для Ci и Cg. Сначала напишем условие для р-

Рк = с, (/е"- dl\+сг. (VIII. 2. 24)

Вычитая уравнение (VIII. 2.21) из (VIII. 2.24) и учитывая (VIII. 2. 14), получаем

оо оо

р„ -j3 = Ci f е dl = c /е d. (VIII. 2. 25)

которое легко интегрируется. Для этого обозначи.м

- = [/(1). (VIII. 2. 18)

Тогда уравнение (VIII. 2.17) примет вид:

откуда, разделяя переменные и интегрируя, получаем

2 /xt 2 /xt

где c[ = 2Vkci.

Последний интеграл обычно представляют в виде разности интегралов:

оо оо 2/и*

X о о

Из интегрального исчисления известно [Лт. III. 7], что

/e-"du = -?. (VIII. 2. 28)

Интеграл в уравнении (VIII. 2. 28) называется интегралом Пуассона. Тогда уравнение (VIII. 2. 27) можно представить в виде

. 2/и<

2 /xt

1- / f-l (Vin.2.29)

где erf -= J e"" du. Табулированный интеграл 2 Q

erf I = -y=- / e-" (VIII. 2. 30)

называется интегралом или функцией вероятности.

Перед нахождением для удобства заменим переменное интегрирования I другим:

и=- = =-. (Vnr.2.26)

2V>t 2/xi

Тогда dl = 2yK du и уравнение (VIII. 2. 25) примет вид:

р„-р = 21/х Ci 7 e-du = c[ / e-"du, (VIII. 2. 27)