Главная  Переработка нефти и газа 

Скачать эту книгу

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [ 106 ] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131

Откуда при Рк (а) О для а получаем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

p;(a)-§- = (Qi-Q.)X+ 1

ViQi 11 Ql

(IX.l.llJ

Интегрируя это уравнение, что легко выполняется при X = О, найдем а = а {х), после чего можно из уравнений движения определить давления р, и р- Общий случай установившегося движения двух- и трехфазной смесей в пренебрежении капиллярностью рассмотрен Маскетом (Лт. VII. 6). Теория установившегося движения газированной нефти кратко изложена в § 8.

§ 2. Теория Баклея - Леверетта

Баклей и Леверетт [4] рассмотрели двухфазную фильтрацию при етсутствии капиллярного давления без учета массовых сил для случая S {х) = S = const.

В этом случае согласно (IX. 1. 10) имеем следующие уравнения:

К И др kklia) ер 2 П

"I---jli--dT --il--а (i-?--i)

dwi da dw2 da о 9\

~"а = "-аГ = (IX. 2. 2)

dii + w,) u;i + w, = w{t), (IX. 2.3)

где VI w - скорости фильтрации соответственно первой и второй фаз.

Положим, что суммарная скорость фильтрации является постоянной, т. е.

Wi + W2 = w = const.

Из уравнений (IX. 2.1) и (IX. 2.3) получим

dp W

(IX. 2.4)

L Pl Р2

Подставляя значение-- из уравнений (IX. 2. 4) в первое

уравнение (IX. 2.1), получаем

Wi = wj(<i), (IX. 2. 5)

wf (a) m 0 Независимая система ее первых интегралов есть

о -Ci, X----1~с2

{т принято постоянным).

Решение уравнения (IX. 2. 7) имеет вид:

х = х(о, 0) + /(t), (IX. 2. 8)

где х{а, 0) - начальное распределение насыщенности при f = 0.

Зная положоние точки с насыщенностью а в момент f = О, можно из (IX. 2. 8) определить ее положение в любой момент времени ОО.

Из формулы (IX. 2.8)

=JfL/(„). (IX. 2. 9)

Таким образом, / (о) есть скорость распространения насыщенности заданной величины а.

Вид кривых / (о) и / (о) представлен на рис. IX. 5.

Из этого графика видно, что / (а) не яв.ляется монотонной. Иначе говоря, существуют две насыщенности о и oi (рис. ТХ. 5), из которых одна может быть прои.звольной, распространяющиеся с одной

и той же скоростью / (о) = / ix)- Отсюда следует согласно

(IX. 2. 9) и рис. IX. 5, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности может оказаться многозначным

где /((т) -так называемая функция Баклея-Леверетта:

Из формулы (IX. 2.5) определим -и подставим в первое уравнение неразрывности (IX. 2. 2). Получим

и>Па)- + т = 0. (IX. 2. 7)

Уравнение (IX. 2. 7) есть квазилинейное дифференциальное уравнение первого порядка в частных производвых, которое обычно интегрируется методом характеристик [Лт. VII. 1].

Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую уравнению в частных производных (IX. 2. 7):

dx dt da

(рис. IX. 6) аналогично, например, волнам Римана конечной амплитуды, которые изучается в теории ударных волн [Лт. II. 13; 10].

Очевидно, многозначность а физически невозможна. Это говорит-о том, что в зоне движения двухфазной жидкости образуются скачки. Многозначность в волновых задачах механики снлоншых сред обычно означает возможность существования разрывов или скачков искомых функций. В данном случае многозначность также устраняется введением скачка насыщенности.

г> 6л de 1

Рис. IX. 5.

Рис. IX. 6. Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка.

На рис. IX. 6 для иллюстрации показано физически возможное, т. е. однозначное, распределение насыщенности а (ж, 0) или, что то же, X (а, 0) в момент < = 0. Пусть для простоты w = const. Тогда согласно формуле (IX. 2. 8) и рис. IX. 6 дальнейшее распределение насыщенности а (ж, t) можно получить, сместив ординаты а точек

начальной кривой вправо на величины - / (а). В зависимости от

величин о сечения с большей начальной насыщенностью согласно графику / (а) рис. IX. 5 могут обогнать сечения с меньшими начальными насыщенностями и график о (х, t), полученный в результате указанного выше перемещения ординат а вправо, может оказаться в некоторой своей части неоднозначным, что изображено участколг 1-2-3-4-5 кривой а (х, t).

В зоне этого участка одному и тому же значению х соответствуют три значения а: а, и Og, что физически абсурдно - в каждом сечении, естественно, в каждый момент времени должна существовать только одна вполне определенная насыщенность. Можно показать, о чем будет сказано ниже, что положение скачка (прямая